Я вообще не понимаю как решает

Краткий ответ

Да, такая плоскость существует, и она единственна. Доказывать нужно в два этапа: существование (построили) и единственность (другой быть не может). Оба этапа опираются на аксиомы стереометрии.

Что понадобится (3 аксиомы)

• А1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
• А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
• А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Плюс ключевой факт из условия: прямые $a$ и $b$ пересекаются только в точке $O$, то есть других общих точек у них нет.

Шаг 1. Существование

Возьмём на прямой $b$ произвольную точку $N \ne O$. Рассмотрим точки $O$, $M$, $N$.

Докажем, что они не лежат на одной прямой. Если бы лежали, то $N$ лежала бы на прямой $OM$, а $OM = a$ (ведь $O$ и $M$ — две точки прямой $a$). Но $N$ лежит и на $b$, а $a \cap b = {O}$, значит $N = O$ — противоречие.

Итак, $O$, $M$, $N$ неколлинеарны $\Rightarrow$ по А1 через них проходит единственная плоскость $\alpha$.

Теперь: точки $O$ и $N$ лежат в $\alpha$ и обе принадлежат $b$ $\Rightarrow$ по А2 вся прямая $b$ лежит в $\alpha$. И $M \in \alpha$. Плоскость построена — существование доказано.

Шаг 2. Единственность

Пусть $\beta$ — любая плоскость, содержащая прямую $b$ и точку $M$. Тогда:

• $O \in b \Rightarrow O \in \beta$;
• $N \in b \Rightarrow N \in \beta$;
• $M \in \beta$ по предположению.

Значит, $\beta$ проходит через три неколлинеарные точки $O$, $M$, $N$, а такая плоскость по А1 только одна. Следовательно, $\beta = \alpha$. Единственность доказана.

Проверка (заодно полезный вывод)

В плоскости $\alpha$ лежат точки $O$ и $M$ прямой $a$ — по А2 туда целиком попадает и $a$. То есть найденная плоскость содержит обе пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Это разумно: плоскость через две пересекающиеся прямые единственна, и точка $M$ на $a$ в неё автоматически попадает.

Как решать похожие задачи

1. Смотри, чего не хватает до трёх точек: есть прямая и точка — добери точку на прямой.
2. Проверь неколлинеарность (обычно через «иначе эта точка попала бы на другую прямую»).
3. Примени А1 — получишь существование.
4. Для единственности возьми «любую другую» плоскость и покажи, что она содержит те же три точки.

Альтернативная ссылка: $M \notin b$, значит можно сослаться на теорему «через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна» — это ровно та же теорема, только сформулированная иначе.