Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: \(x = 9\)

Решение по шагам

1. Область допустимых значений. Корень в знаменателе, значит подкоренное выражение должно быть положительным: \[ 6x-5>0 \quad\Rightarrow\quad x>\frac56. \]

2. Приравниваем знаменатели. Дроби с одинаковым числителем \(1\) равны, если равны их знаменатели (оба положительны): \[ \sqrt{6x-5}=7. \]

3. Возводим обе части в квадрат: \[ 6x-5=49 \quad\Rightarrow\quad 6x=54 \quad\Rightarrow\quad x=9. \]

4. Проверка. \(x=9>\frac56\) — подходит в ОДЗ. Подставляем: \[ \sqrt{6\cdot 9-5}=\sqrt{49}=7,\qquad \frac{1}{7}=\frac{1}{7}. \] Верно.

Принцип, который стоит запомнить: при решении уравнений с корнем всегда сначала выписывай ОДЗ, а после возведения в квадрат обязательно проверяй корни — иначе легко поймать «лишний» ответ.

Это продолжение той же темы — решение уравнений с корнями. Поэтому обе задачи разбираю тем же принципом: избавляемся от корня, но обязательно учитываем ОДЗ и проверяем корни.

---

1) \(\sqrt[3]{9x+8}=\sqrt[3]{26}\)

Корень нечётной степени — функция монотонная, поэтому можно просто возвести обе части в куб:

\[ 9x+8=26 \]

\[ 9x=18 \]

\[ x=2 \]

Проверка: \[ \sqrt[3]{9\cdot2+8}=\sqrt[3]{26}=\sqrt[3]{26} \] Верно.

Ответ: \(x=2\)

---

2) \(\sqrt{2x-5}=x-4\)

ОДЗ: \[ 2x-5\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge2{,}5 \] Кроме того, правая часть должна быть неотрицательной: \[ x-4\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge4 \] Значит, подходят только \(x\ge4\).

Возводим обе части в квадрат: \[ 2x-5=(x-4)^2 \]

\[ 2x-5=x^2-8x+16 \]

\[ x^2-10x+21=0 \]

\[ (x-7)(x-3)=0 \]

Получаем: \[ x=7 \quad\text{или}\quad x=3 \]

Но по ОДЗ \(x\ge4\), поэтому \(x=3\) не подходит. Проверим:

• при \(x=3\): \(\sqrt{2\cdot3-5}=\sqrt1=1\), а \(3-4=-1\) — не равно;
• при \(x=7\): \(\sqrt{14-5}=\sqrt9=3\), а \(7-4=3\) — верно.

Ответ: \(x=7\)

---

Главное: при возведении в квадрат могут появиться «лишние» корни, поэтому проверка или условие на правую часть обязательны. Для кубического корня такая проверка не нужна — он определён при любом \(x\).

Обе задачи — продолжение той же темы (уравнения с корнями), поэтому решаю тем же принципом: убираем корень, следим за ОДЗ и проверяем.

---

1) \(\sqrt[3]{x^3-7x^2-40}=x-2\)

Корень кубический — значит, возводить в куб можно без опаски: лишних корней не появится.

\[ x^3-7x^2-40=(x-2)^3 \]

Раскрываем куб:

\[ (x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8 \]

\[ x^3-7x^2-40=x^3-6x^2+12x-8 \]

\(x^3\) сокращается:

\[ -7x^2-40=-6x^2+12x-8 \]

\[ -x^2-12x-32=0 \]

\[ x^2+12x+32=0 \]

\[ D=144-128=16,\qquad x=\frac{-12\pm4}{2} \]

\[ x=-4 \quad\text{или}\quad x=-8 \]

Проверка:

• \(x=-4\): под корнем \(-64-112-40=-216\), \(\sqrt[3]{-216}=-6\); справа \(-4-2=-6\). ✔
• \(x=-8\): под корнем \(-512-448-40=-1000\), \(\sqrt[3]{-1000}=-10\); справа \(-8-2=-10\). ✔

Ответ: \(x=-4;\; x=-8\) (оба подходят).

---

2) \(\sqrt{6x-9}=\sqrt{10x+7}\)

Оба корня неотрицательны, поэтому при равенстве подкоренные выражения должны быть равны и неотрицательны.

\[ 6x-9=10x+7 \]

\[ -4x=16 \quad\Rightarrow\quad x=-4 \]

Проверка ОДЗ: \[ 6(-4)-9=-33<0,\qquad 10(-4)+7=-33<0 \]

Подкоренные выражения отрицательны — корней из отрицательных чисел в действительных числах нет. Значит, \(x=-4\) не подходит.

Других кандидатов нет, поэтому:

Ответ: решений нет (в приложении выбирай «Решений нет»).

---

Почему так: в первом уравнении корень нечётный (\(3\)-й), поэтому возведение в куб безопасно. Во втором — чётный корень, и главное проверить, что подкоренное выражение не отрицательно; равенство подкоренных выражений само по себе ещё не даёт решения.

Это продолжение той же темы — уравнения с корнями. Новое задание решаем тем же принципом: произведение равно нулю, но обязательно проверяем ОДЗ из-за квадратного корня.

---

Задание 7

\[ (x^{2/3}-6x^{1/3}+8)\sqrt{x^2-100}=0 \]

1. ОДЗ

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ x^2-100\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le-10 \ \text{или}\ x\ge10. \]

Степени \(x^{1/3}\) и \(x^{2/3}\) определены при любых \(x\), поэтому других ограничений нет.

2. Произведение равно нулю

Значит, хотя бы один множитель равен нулю.

Случай 1: \(\sqrt{x^2-100}=0\)

\[ x^2-100=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm10. \]

Оба значения входят в ОДЗ.

Случай 2: \(x^{2/3}-6x^{1/3}+8=0\)

Замена \(t=x^{1/3}\):

\[ t^2-6t+8=0 \]

\[ (t-2)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=2 \ \text{или}\ t=4. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x^{1/3}=2 \quad\Rightarrow\quad x=8, \] \[ x^{1/3}=4 \quad\Rightarrow\quad x=64. \]

Проверяем ОДЗ:

• \(x=8\) не подходит, так как \(8<10\) и под корнем \(8^2-100=-36<0\);
• \(x=64\) подходит, так как \(64\ge10\).

3. Проверка

• \(x=-10\): корень равен \(0\), произведение равно \(0\) ✔
• \(x=10\): корень равен \(0\), произведение равно \(0\) ✔
• \(x=64\): первая скобка \(16-24+8=0\), корень \(\sqrt{3996}\) существует ✔

---

Ответ

\[ \boxed{x=-10;\quad x=10;\quad x=64} \]

Ключевая идея: при решении уравнений вида «произведение \(=0\)» сначала выписываем ОДЗ, затем приравниваем каждый множитель к нулю и отбрасываем корни, не попавшие в ОДЗ.

Да, предыдущий ответ был неверным — ошибка в одной строчке: я записал \(x=-10\) в ответ, хотя эта точка не входит в ОДЗ из-за дробных степеней.

Где ошибка

В уравнении есть \(x^{1/3}\) и \(x^{2/3}\). Степень с дробным показателем \(x^{2/3}\) в школьном курсе определена при \(x\ge 0\). Значит,

\[ \text{ОДЗ: } \begin{cases} x\ge 0 \quad(\text{из } x^{1/3},\,x^{2/3})\\ x^2-100\ge 0 \end{cases} \]

то есть \(x\ge 10\). Корень \(x=-10\) (он годился бы только для радикала) в ОДЗ не входит — его надо убрать.

Верное решение

1. Радикал: \(\sqrt{x^2-100}=0\Rightarrow x=\pm10\). С учётом \(x\ge 0\) остаётся только \(x=10\).

2. Скобка: \(t=x^{1/3}\), \(t^2-6t+8=0\), \(t=2\) или \(t=4\), откуда \(x=8\) или \(x=64\).
   \(x=8\) не подходит (\(8^2-100<0\)), \(x=64\) подходит (\(64\ge 10\)).

Проверка \(x=64\): \(16-24+8=0\), корень \(\sqrt{3996}\) существует — произведение равно 0. ✔
Проверка \(x=10\): корень равен 0 — произведение равно 0. ✔

Ответ

\[ \boxed{x=10;\quad x=64} \]

В поле ответа оставь 10 и 64, а −10 удали (нажми крестик у этого поля) — тогда проверка пройдёт.

Это продолжение той же темы — уравнения с квадратными корнями. Решаю оба задания тем же принципом: сначала ОДЗ, потом избавляемся от корней и проверяем.

---

Задание 1

\[ \sqrt{x^2-4x}=\sqrt{2-5x} \]

1. ОДЗ

Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны: \[ x^2-4x\ge0,\qquad 2-5x\ge0. \]

2. Приравниваем подкоренные выражения

Оба корня неотрицательны, поэтому равенство корней равносильно равенству подкоренных выражений: \[ x^2-4x=2-5x \]

\[ x^2+x-2=0 \]

\[ (x+2)(x-1)=0 \]

\[ x=-2 \quad\text{или}\quad x=1 \]

3. Проверка по ОДЗ

• \(x=-2\): \(x^2-4x=4+8=12\ge0\) ✔; \(2-5(-2)=12\ge0\) ✔ — подходит.
• \(x=1\): \(x^2-4x=1-4=-3<0\) ✘ — не подходит (корень из отрицательного числа не существует).

Ответ: \[ \boxed{x=-2} \]

---

Задание 2

\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{9-x}=\sqrt{22} \]

1. ОДЗ

\[ x+9\ge0,\quad 9-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad -9\le x\le9. \]

2. Возводим обе части в квадрат

Слева формула \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \[ (x+9)+(9-x)+2\sqrt{(x+9)(9-x)}=22 \]

\[ 18+2\sqrt{81-x^2}=22 \]

\[ 2\sqrt{81-x^2}=4 \]

\[ \sqrt{81-x^2}=2 \]

3. Ещё раз в квадрат

\[ 81-x^2=4 \]

\[ x^2=77 \]

\[ x=\sqrt{77}\quad\text{или}\quad x=-\sqrt{77} \]

Оба значения входят в ОДЗ, так как \(\sqrt{77}\approx8{,}8<9\).

4. Проверка

\[ \left(\sqrt{9+\sqrt{77}}+\sqrt{9-\sqrt{77}}\right)^2 =18+2\sqrt{81-77}=18+4=22. \] Обе суммы положительны, значит, исходное равенство верно.

Ответ: \[ \boxed{x=\sqrt{77};\quad x=-\sqrt{77}} \]

---

Что здесь важно понять: при возведении в квадрат «лишние» корни появляются почти всегда — поэтому либо проверяй каждый корень по ОДЗ, как в первом задании, либо проверяй подстановкой, как во втором.

Это продолжение той же темы — уравнения с квадратными корнями. На изображении два задания, разбираю оба.

---

Задание 3 (верхнее)

\[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x+5}=\sqrt{4-5x} \]

1. ОДЗ

\[ \begin{cases} x+2\ge0,\\ x+5\ge0,\\ 4-5x\ge0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad -2\le x\le\frac45. \]

2. Возводим обе части в квадрат

Слева используем \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[ (x+2)+(x+5)+2\sqrt{(x+2)(x+5)}=4-5x \]

\[ 2x+7+2\sqrt{(x+2)(x+5)}=4-5x \]

\[ 2\sqrt{(x+2)(x+5)}=-7x-3 \]

3. Важное условие

Слева стоит неотрицательное число, значит и справа должно быть неотрицательно:

\[ -7x-3\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le-\frac37. \]

Теперь снова возводим в квадрат:

\[ 4(x+2)(x+5)=(-7x-3)^2 \]

\[ 4(x^2+7x+10)=49x^2+42x+9 \]

\[ 4x^2+28x+40=49x^2+42x+9 \]

\[ 45x^2+14x-31=0 \]

\[ D=14^2-4\cdot45\cdot(-31)=196+5580=5776=76^2 \]

\[ x=\frac{-14\pm76}{90} \]

\[ x=\frac{31}{45}\quad\text{или}\quad x=-1. \]

4. Проверка

• \(x=\frac{31}{45}>-\frac37\) — не подходит (правая часть после первого возведения была бы отрицательной).
• \(x=-1\): слева \(\sqrt1+\sqrt4=1+2=3\), справа \(\sqrt{4+5}=\sqrt9=3\). ✔

Ответ: \[ \boxed{x=-1} \]

---

Задание 4 (нижнее)

\[ \frac{6}{x-3}-\frac{1}{\sqrt{x-3}}-1=0 \]

1. ОДЗ

Корень в знаменателе, поэтому:

\[ x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>3. \]

2. Замена

Пусть \(t=\sqrt{x-3}>0\). Тогда \(x-3=t^2\), и уравнение принимает вид:

\[ \frac{6}{t^2}-\frac1t-1=0. \]

Умножим на \(t^2>0\):

\[ 6-t-t^2=0 \]

\[ t^2+t-6=0 \]

\[ (t+3)(t-2)=0. \]

Корни: \(t=-3\) и \(t=2\). Но \(t=\sqrt{x-3}>0\), поэтому \(t=-3\) не подходит.

3. Возвращаемся к \(x\)

\[ \sqrt{x-3}=2 \]

\[ x-3=4 \]

\[ x=7. \]

Проверка: при \(x=7\) \[ \frac64-\frac{1}{\sqrt4}-1=\frac32-\frac12-1=0. ✔ \]

Ответ: \[ \boxed{x=7} \]

---

Что важно запомнить: при возведении в квадрат уравнения с двумя корнями появляется дополнительное условие на знак правой части. Без него легко получить «лишний» корень — как \(\frac{31}{45}\) в первом задании.

Это продолжение той же темы — уравнение с квадратным корнем. Здесь удобна замена: под корнем и снаружи стоит одно и то же выражение.

Задание 5

\[ x^2-4x-5-2\sqrt{x^2-4x-5}=8 \]

1. ОДЗ

\[ x^2-4x-5\ge0 \quad\Rightarrow\quad (x-5)(x+1)\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le-1 \ \text{или}\ x\ge5. \]

2. Замена

Пусть \[ t=\sqrt{x^2-4x-5},\qquad t\ge0. \] Тогда \(x^2-4x-5=t^2\), и уравнение превращается в квадратное относительно \(t\):

\[ t^2-2t=8 \]

\[ t^2-2t-8=0 \]

\[ (t-4)(t+2)=0 \]

Корни \(t=4\) и \(t=-2\). Так как \(t\ge0\), подходит только

\[ t=4. \]

3. Возвращаемся к \(x\)

\[ \sqrt{x^2-4x-5}=4 \]

\[ x^2-4x-5=16 \]

\[ x^2-4x-21=0 \]

\[ (x-7)(x+3)=0 \]

\[ x=7 \quad\text{или}\quad x=-3. \]

4. Проверка

• \(x=7\): \(49-28-5=16\), \(\sqrt{16}=4\), тогда \(16-2\cdot4=8\). ✔
• \(x=-3\): \(9+12-5=16\), \(\sqrt{16}=4\), тогда \(16-8=8\). ✔

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ

\[ \boxed{x=-3;\quad x=7} \]

Главная идея: когда под корнем и вне его стоит одно и то же выражение, делаем замену \(t=\sqrt{\text{выражение}}\) и не забываем, что \(t\ge0\). Иначе лишний корень \(t=-2\) дал бы ложные решения.