Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3.$$

Ответ: 2 и 3.

Ключевая идея

Это приведённое квадратное уравнение вида $x^2+px+q=0$ (коэффициент при $x^2$ равен 1). Для него работает теорема Виета: если корни $x_1$ и $x_2$ существуют, то

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q.$$

В нашем случае $p=-5$, $q=6$, значит нужно найти два числа, у которых:

• сумма $=5$,
• произведение $=6$.

Шаги

1. Выписываем пары множителей числа 6: $1\cdot6$, $2\cdot3$ (и те же с минусами: $(-1)(-6)$, $(-2)(-3)$).
2. Проверяем сумму: $1+6=7$ — не подходит; $2+3=5$ — подходит.
3. Значит, $x_1=2$, $x_2=3$.

Тот же результат через разложение на множители.

Если корни $2$ и $3$, то уравнение раскладывается так:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: $x-2=0$ или $x-3=0$, откуда $x=2$ или $x=3$.

Универсальный способ — через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «некрасивые»):

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2},$$

то есть $x_1=\dfrac{6}{2}=3$, $x_2=\dfrac{4}{2}=2$.

Проверка

$$2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0;\checkmark$$ $$3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0;\checkmark$$

Как действовать в похожем задании

1. Убедись, что уравнение приведённое (или раздели на $a$).
2. Ищи два числа с суммой $-p$ и произведением $q$ — если они легко угадываются, корни найдены.
3. Если не угадываются (или $D<0$ — корней нет), считай дискриминант и подставляй в формулу.
4. Подставь корни в исходное уравнение — это быстрая проверка от ошибок со знаками.