Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как решить:
Уравнение \(x^2-5x+6=0\) можно разложить на множители. Нужны два числа, которые:
- в сумме дают \(5\),
- в произведении дают \(6\).
Это \(2\) и \(3\), потому что \(2+3=5\), а \(2\cdot 3=6\).
Значит: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \] \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Проверка:
- При \(x=2\): \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\).
- При \(x=3\): \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
Принцип: квадратное уравнение можно решать через разложение на множители, если удаётся найти два числа с нужными суммой и произведением. Также подойдёт формула дискриминанта — результат будет тот же.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко: \(x\) никуда не исчезал — он был в исходном выражении и остался в каждой скобке. Разложение \((x-2)(x-3)\) — это просто другая запись того же самого \(x^2-5x+6\). Сейчас покажу, почему это так.
1. Что такое \(x\)
\(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. С ним обращаются как с обычным числом: можно умножать, складывать, вычитать.
2. Проверим разложение «обратным ходом»
Раскроем скобки в \((x-2)(x-3)\). Сначала умножим \(x\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ x(x-3)=x\cdot x - x\cdot 3 = x^2-3x \]
Теперь умножим \(-2\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ -2(x-3)=-2x+6 \]
Складываем всё вместе:
\[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Получилось ровно исходное выражение. Значит, запись \((x-2)(x-3)\) правильная — это не «откуда-то взявшийся \(x\)», а тот же самый \(x\), просто собранный в скобки.
3. Откуда взялись именно числа 2 и 3
Ищем разложение в виде:
\[ (x-a)(x-b) \]
Раскроем его так же, как выше:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-bx-ax+ab=x^2-(a+b)x+ab \]
Сравниваем с нашим уравнением \(x^2-5x+6\):
- коэффициент при \(x\): \(-(a+b)=-5\), значит \(a+b=5\);
- свободный член: \(ab=6\).
То есть нужны два числа с суммой \(5\) и произведением \(6\). Это \(2\) и \(3\). Поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Буква \(x\) в каждой скобке — это та же переменная; числа \(2\) и \(3\) — это корни, которые мы «вынули» из коэффициентов.
4. Почему дальше \(x=2\) или \(x=3\)
У нас уравнение:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Слева произведение двух множителей. Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Проверка: при \(x=2\) первая скобка \(2-2=0\), произведение \(0\). При \(x=3\) вторая скобка \(3-3=0\), тоже произведение \(0\). Всё сходится.
Если хочешь, могу показать тот же пример через дискриминант — там \(x\) тоже остаётся, но находится по формуле.
