Основные геометрические фигуры на плоскости
Краткий ответ
На плоскости основные фигуры — это точка, прямая, отрезок, луч, угол, многоугольник (треугольник, четырёхугольник и т. д.), окружность и круг. При этом точка, прямая и плоскость — исходные (неопределяемые) понятия: их не определяют через другие, а описывают свойствами. Все остальные фигуры определяются через них.
Как устроена «лестница» фигур
| Фигура | Как появляется | Ключевое свойство |
|---|---|---|
| Точка | исходное понятие | не имеет размеров; обозначается заглавной буквой: $A$, $B$, $C$ |
| Прямая | исходное понятие | бесконечна в обе стороны; через две точки проходит ровно одна прямая |
| Отрезок $AB$ | часть прямой, ограниченная точками $A$ и $B$ | имеет длину — расстояние между концами |
| Луч $AB$ | часть прямой, ограниченная точкой $A$ (начало) с одной стороны | имеет начало, но не имеет конца |
| Угол | два луча с общим началом | измеряется в градусах; развёрнутый угол $=180^\circ$ |
| Ломаная | последовательность отрезков | замкнутая ломаная без самопересечений даёт многоугольник |
| Многоугольник | замкнутая ломаная + внутренняя область | у $n$-угольника $n$ сторон, $n$ вершин |
| Окружность | множество точек, равноудалённых от центра $O$ на радиус $R$ | это «линия», граница |
| Круг | окружность вместе с внутренней областью | это «площадь» внутри |
Ключевая логика, а не заучивание
- От простого к сложному. Каждая следующая фигура собирается из предыдущих: прямая → отрезок и луч → угол → многоугольник → окружность. Если понимать, из чего фигура составлена, определения запоминаются сами.
- Различай пары-«двойники»:
- прямая $AB$ (бесконечна) ≠ отрезок $AB$ (есть длина) ≠ луч $AB$ (начало в $A$);
- окружность (только граница) ≠ круг (граница + внутренность);
- угол (два луча) ≠ треугольник (три отрезка).
- Смотри на ограничения в определении — именно они задают фигуру: «с общим началом» — это угол; «без самопересечений» — это многоугольник, а не произвольная ломаная.
Проверка
- Через точки $A$ и $B$ можно провести одну прямую — значит, $AB$ задаёт прямую однозначно. ✔
- У треугольника 3 стороны, 3 вершины, 3 угла; сумма углов $=180^\circ$ — согласуется с тем, что треугольник есть простейший многоугольник ($n=3$). ✔
- Окружность радиуса $R$: все её точки на расстоянии $R$ от центра — поэтому у неё нет «толщины», в отличие от круга. ✔
Как решать похожие задания: назови фигуру → скажи, из чего она состоит (через какие исходные понятия определяется) → добавь одно свойство, которое отличает её от «двойника».
Обсуждение
4 сообщенияОтветь на эти вопросы
Ответы по вопросам 3–11
3. Отрезок. Измерение отрезков
Отрезок $AB$ — часть прямой, ограниченная двумя точками $A$ и $B$ (концами). Пишут отрезок $AB$ (концы — его границы).
- Длина отрезка — расстояние между концами; обозначается $AB$. Измеряется линейкой в мм, см, м.
- Основное свойство измерения: если точка $C$ лежит между $A$ и $B$, то $$AB = AC + CB$$
- Равные отрезки имеют равные длины, и наоборот.
- От любой точки на любом луче можно отложить отрезок заданной длины, и только один (единственность).
4. Полуплоскость. Луч. Полупрямая
Полуплоскость — одна из двух частей, на которые прямая разбивает плоскость (сама прямая — их общая граница).
- Точки одной полуплоскости можно соединить отрезком, не пересекая границу; если точки в разных полуплоскостях — отрезок границу пересекает.
Луч (полупрямая) — часть прямой, состоящая из точки — начала луча — и всех точек прямой по одну сторону от неё. Обозначение: $OA$ (первая буква — начало). Луч ограничен с одной стороны и бесконечен в другую.
5. Угол
Угол — фигура из двух лучей с общим началом (вершиной); обозначается $\angle AOB$, где $O$ — вершина.
- Измеряется в градусах. Развёрнутый $=180^\circ$, прямой $=90^\circ$, острый $<90^\circ$, **тупой** $>90^\circ$.
- Основное свойство измерения: если луч $OC$ проходит между сторонами $\angle AOB$, то $$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB$$
- Равные углы — углы с равной градусной мерой.
6. Треугольник
Треугольник — фигура из трёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков (сторон), попарно их соединяющих. Обозначение: $\triangle ABC$.
- Элементы: 3 вершины, 3 стороны, 3 угла; периметр $P=AB+BC+CA$.
- Сумма углов: $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$.
- Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других: $AB<AC+CB$.
- По сторонам: разносторонний, равнобедренный, равносторонний.
7. Виды треугольников по углам
- Остроугольный — все углы острые.
- Прямоугольный — один угол $90^\circ$; стороны: катеты (при прямом угле) и гипотенуза (против него). Острые углы в сумме дают $90^\circ$.
- Тупоугольный — один угол тупой (тогда два других обязательно острые).
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого катета (против большего угла лежит большая сторона).
8. Медиана, биссектриса, высота
- Медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны.
- Биссектриса — отрезок от вершины до противоположной стороны, который делит угол пополам.
- Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону (в тупоугольном треугольнике может лежать вне его).
Доказательство (главное свойство): в равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) медиана $BM$ к основанию является и биссектрисой, и высотой.
Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$:
- $AB=BC$ (боковые стороны),
- $AM=MC$ ($M$ — середина),
- $BM$ — общая сторона.
Значит, $\triangle ABM=\triangle CBM$ по трём сторонам. Отсюда $\angle ABM=\angle CBM$ — $BM$ биссектриса. Кроме того, $\angle AMB=\angle BMC$, а эти углы смежные, поэтому каждый равен $180^\circ:2=90^\circ$ — значит, $BM\perp AC$, то есть $BM$ — высота. ∎
9. Смежные углы
Смежные углы — два угла с общей стороной, а две другие их стороны — дополнительные лучи (вместе образуют развёрнутый угол).
Свойство: сумма смежных углов равна $180^\circ$: $$\angle 1+\angle 2=180^\circ$$ Почему: вместе они составляют развёрнутый угол, а он равен $180^\circ$.
10. Вертикальные углы
Вертикальные углы — пара углов при пересечении двух прямых, у которых стороны одного — продолжения сторон другого.
Свойство: вертикальные углы равны. Доказательство: $\angle 1$ и $\angle 2$ смежные, $\angle 2$ и $\angle 3$ смежные, значит $$\angle 1=180^\circ-\angle 2,\qquad \angle 3=180^\circ-\angle 2 ;\Rightarrow; \angle 1=\angle 3. ;\blacksquare$$
11. Перпендикулярные прямые
Перпендикулярные прямые — прямые, которые при пересечении образуют прямые углы ($90^\circ$). Обозначение: $a\perp b$.
- Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
- Перпендикуляр (отрезок из точки к прямой) — кратчайшее расстояние от точки до прямой; его длина — расстояние от точки до прямой.
Подсказка для ответа на уроке: называй сначала определение, потом одно свойство и, если просят, доказательство — этого достаточно для полного ответа по любому из пунктов. Проблемное место обычно одно (в п. 8): «Доказательство» — я разобрал стандартное: в равнобедренном треугольнике медиана к основанию есть биссектриса и высота. Если учитель просил другое доказательство, скажи, какое — разберём именно его.
Параллельные прямые, теорема, аксиома, доказательство.
Краткий ответ
- Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются; обозначаются $a \parallel b$.
- Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают доказательством (у неё есть условие и заключение).
- Аксиома — исходное утверждение, которое принимают без доказательства (на нём строят теорию).
- Доказательство — логическая цепочка рассуждений, ведущая от условия теоремы к её заключению (каждый шаг опирается на определение, аксиому или уже доказанную теорему).
1. Параллельные прямые
Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Полезные факты:
- Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (иначе получился бы треугольник с двумя прямыми углами — а это невозможно, ведь сумма углов $180^\circ$).
- Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
- Расстояние между параллельными прямыми всюду одинаково.
Чтобы «увидеть» параллельность, проводят секущую — прямую, пересекающую обе. При этом образуются пары углов:
| Пара углов | Как выглядит |
|---|---|
| Накрест лежащие | по разные стороны секущей, между прямыми: $3$ и $5$, $4$ и $6$ |
| Соответственные | на одном «месте» при каждой прямой: $1$ и $5$, $2$ и $6$ |
| Односторонние | по одну сторону секущей, между прямыми: $3$ и $6$, $4$ и $5$ |
2. Признаки параллельности (это теоремы)
| Дано (условие) | Вывод |
|---|---|
| накрест лежащие углы равны | прямые параллельны |
| соответственные углы равны | прямые параллельны |
| сумма односторонних углов $=180^\circ$ | прямые параллельны |
Обратные утверждения тоже верны — это свойства параллельных прямых: если $a \parallel b$, то накрест лежащие углы равны, соответственные равны, а сумма односторонних равна $180^\circ$.
3. Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Почему это аксиома: существование такой прямой можно обосновать, а вот единственность доказать из остальных аксиом нельзя — её принимают как исходное положение. Из неё получают важные следствия:
- если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$;
- если прямая пересекает одну из параллельных, то пересекает и другую.
4. Теорема и доказательство: из чего состоят
Теорема = условие («дано») + заключение («доказать»). Пример: «Если накрест лежащие углы равны (условие), то прямые параллельны (заключение)».
Обратная теорема получается перестановкой: условие и заключение меняются местами. Поэтому признаки и свойства параллельности — взаимно обратные теоремы, и путать их нельзя.
Виды доказательства:
- прямое — идём от условия к заключению;
- от противного — предполагаем, что заключение неверно, и приходим к противоречию с аксиомой или уже известным фактом.
5. Пример: доказательство признака параллельности
Теорема. Если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей $AB$ накрест лежащие углы равны, то $a \parallel b$.
Дано: $\angle 1$ (при $A$) и $\angle 2$ (при $B$) — накрест лежащие, $\angle 1 = \angle 2$. Доказать: $a \parallel b$.
Доказательство.
- Пусть $O$ — середина отрезка $AB$.
- Проведём из $O$ перпендикуляр $OH$ к прямой $a$. На прямой $b$ по другую сторону от $AB$ отложим отрезок $BH_1 = AH$.
- Рассмотрим $\triangle OHA$ и $\triangle OH_1B$:
- $OA = OB$ ($O$ — середина $AB$),
- $AH = BH_1$ (по построению),
- $\angle OAH = \angle OBH_1$ (это данные накрест лежащие углы). Значит, $\triangle OHA = \triangle OH_1B$ по двум сторонам и углу между ними.
- Из равенства треугольников: $\angle OHA = \angle OH_1B = 90^\circ$ и $\angle AOH = \angle BOH_1$.
- Точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой (они на секущей), поэтому $\angle AOH + \angle HOB = 180^\circ$. Заменяем $\angle AOH$ на равный ему $\angle BOH_1$: $$\angle BOH_1 + \angle HOB = 180^\circ$$ значит, точки $H$, $O$, $H_1$ лежат на одной прямой $HH_1$.
- Тогда $HH_1 \perp a$ и $HH_1 \perp b$, то есть обе прямые перпендикулярны третьей. Следовательно, $a \parallel b$. $\blacksquare$
А свойство доказывают от противного: если $a \parallel b$, но накрест лежащие углы не равны, то через точку $A$ можно построить ещё одну прямую $a_1$, параллельную $b$ (по признаку). Получится две прямые через одну точку, параллельные $b$, — противоречие с аксиомой.
Проверка
- Признак: «углы равны $\Rightarrow$ прямые параллельны». Свойство: «прямые параллельны $\Rightarrow$ углы равны». Направление стрелки — главное, здесь чаще всего ошибаются. ✔
- В доказательстве использованы только определения, ранее доказанная теорема о равенстве треугольников и факт «две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны» — цепочка корректна. ✔
- Аксиома утверждает единственность параллельной, а не её существование — именно на единственность опирается доказательство от противного. ✔
