Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
Ключевые шаги
Способ 1. Разложение на множители по теореме Виета
Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ корни удовлетворяют условиям: $$x_1\cdot x_2 = q = 6,\qquad x_1+x_2 = -p = 5$$
Ищем два числа с произведением 6 и суммой 5 — это 2 и 3 (проверяем варианты: 1 и 6 дают сумму 7 — не подходит, 2 и 3 — сумма 5, подходит).
Значит: $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $$x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3$$
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «некрасивые»)
$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0$$ $$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}\Rightarrow x_1=\frac{6}{2}=3,; x_2=\frac{4}{2}=2$$
Проверка
- $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
- $x=3$: $9-15+6=0$ ✔
Принцип для похожих заданий
- Уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: сначала посчитай $D=b^2-4ac$.
- $D>0$ — два корня, $D=0$ — один (кратный), $D<0$ — корней нет (в 9 классе).
- Если $a=1$ и корни целые, быстрее подобрать их по Виету: произведение $=c$, сумма $=-b$.
- Всегда подставляй найденные корни обратно — это ловит ошибки со знаками.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко: $x$ мы ниоткуда не «взяли» — он был в уравнении с самого начала
$x$ — это переменная, то есть «пустое место» для числа, которое мы ищем. Вопрос задачи: при каких значениях $x$ выражение $x^2-5x+6$ равно нулю? Уравнение — это вопрос про $x$, а не про конкретное число.
Дальше разберём то самое место с $(x-2)(x-3)=0$ медленно.
Шаг 1. Скобки — это просто другая запись того же выражения
Раскроем скобки обратно:
$$(x-2)(x-3)=x\cdot x-x\cdot3-2\cdot x+2\cdot3=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$$
Получилось ровно исходное выражение. Значит, для любого $x$ эти две записи дают одно и то же число. Проверим на $x=10$:
- $x^2-5x+6=100-50+6=56$
- $(x-2)(x-3)=8\cdot7=56$ ✔
Поэтому уравнение $x^2-5x+6=0$ и уравнение $(x-2)(x-3)=0$ — это одно и то же уравнение, просто записанное по-разному. Замена скобками ничего не поменяла, но сделала ответ видимым.
Шаг 2. Главное правило: произведение равно нулю
Если $a\cdot b=0$, то обязательно $a=0$ или $b=0$ (или оба сразу). Иначе говоря: ноль получается только тогда, когда один из множителей — ноль. Числа 3 и 7 в произведении ноль не дадут никогда, как их ни переставляй.
Шаг 3. Применяем правило к нашим скобкам
У нас произведение двух множителей: $(x-2)$ и $(x-3)$. Оно равно нулю, значит:
$$x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0$$
Теперь решаем каждое — это уже простые линейные уравнения:
$$x=2 \quad\text{или}\quad x=3$$
Шаг 4. Что это значит на практике
Мы не «нашли $x$ в скобке» — мы нашли, при каком $x$ скобка обнуляется:
- при $x=2$: $(2-2)(2-3)=0\cdot(-1)=0$ ✔
- при $x=3$: $(3-2)(3-3)=1\cdot0=0$ ✔
- при $x=5$: $(5-2)(5-3)=3\cdot2=6\ne0$ ✘ — не подходит
То есть $x$ остаётся переменной, а корни — это те конкретные числа, которые «выключают» одну из скобок.
Зачем вообще теорема Виета
Она объясняет, почему скобки получились именно с числами 2 и 3. Если у уравнения корни $r$ и $s$, то
$$(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs$$
Сравниваем с $x^2-5x+6$: нужно $r+s=5$ и $r\cdot s=6$. Подошли 2 и 3 — поэтому скобки выглядят как $(x-2)(x-3)$. Виет просто позволяет угадать эти числа, не раскрывая дискриминант.
Итоговая логика: выражение → разложили на множители (проверяется раскрытием скобок) → произведение равно нулю → каждая скобка равна нулю → два корня $x=2$ и $x=3$.
