Реши задание на изображении

Кратко

1. \(F(x)=\dfrac{x^3}{6}-2x^2+\dfrac{47}{6}\)

2. \(\displaystyle \int (9x+12)\cos\frac{x}{12}\,dx=12(9x+12)\sin\frac{x}{12}+1296\cos\frac{x}{12}+C\)

3. \(n=30\). Относительные частоты:
   \(6{,}7\%;\ 30\%;\ 40\%;\ 20\%;\ 3{,}3\%\) — по интервалам от \(14{-}18\) до \(30{-}34\).

4. \(A=mgh=20\cdot10\cdot5=1000\) Дж \(=1\) кДж.

5. a) \(\displaystyle \int x^4\sqrt{x^5+5}\,dx=\frac{2}{15}(x^5+5)^{3/2}+C\)
   b) \(\displaystyle S=\frac{2}{15}(6\sqrt6-8)=\frac{12\sqrt6-16}{15}\approx0{,}893\)
   c) \(\displaystyle V=\frac{79\pi}{126}\approx1{,}97\)

6. Объём выборки \(n=43\); мода \(Mo=7\); медиана \(Me=7\);
   \(\bar x=\frac{316}{43}\approx7{,}35\);
   \(D\approx2{,}41\); \(\sigma\approx1{,}55\).
   Полигон частот: точки
   \((5;5),(6;8),(7;12),(8;9),(9;6),(10;0),(11;3)\).

---

Как это получается

1. Первообразная

\[ F(x)=\int\left(\frac{x^2}{2}-4x\right)dx =\frac{x^3}{6}-2x^2+C. \]

По условию \(F(1)=6\):

\[ \frac16-2+C=6 \quad\Rightarrow\quad C=6+2-\frac16=\frac{47}{6}. \]

Значит,

\[ F(x)=\frac{x^3}{6}-2x^2+\frac{47}{6}. \]

Проверка: \(F'(x)=\dfrac{x^2}{2}-4x\).

---

2. Интеграл по частям

\[ \int (9x+12)\cos\frac{x}{12}\,dx. \]

Пусть

\[ u=9x+12,\qquad dv=\cos\frac{x}{12}\,dx. \]

Тогда

\[ du=9\,dx,\qquad v=12\sin\frac{x}{12}. \]

\[ \int u\,dv=uv-\int v\,du \]

\[ =12(9x+12)\sin\frac{x}{12} -108\int \sin\frac{x}{12}\,dx. \]

Так как \(\displaystyle \int \sin\frac{x}{12}\,dx=-12\cos\frac{x}{12}\), получаем:

\[ \boxed{ 12(9x+12)\sin\frac{x}{12}+1296\cos\frac{x}{12}+C } \]

---

3. Относительные частоты и гистограмма

Всего наблюдений:

\[ n=2+9+12+6+1=30. \]

Относительная частота в процентах:

\[ w_i=\frac{n_i}{n}\cdot100\%. \]

Интервал	Частота	Относительная частота
\(14{-}18\)	2	\(\frac{2}{30}\cdot100\%=6{,}7\%\)
\(18{-}22\)	9	\(30\%\)
\(22{-}26\)	12	\(40\%\)
\(26{-}30\)	6	\(20\%\)
\(30{-}34\)	1	\(3{,}3\%\)

Точные значения: \(6\frac23\%;30\%;40\%;20\%;3\frac13\%\).

Гистограмма: по оси \(x\) — интервалы температуры, по оси \(y\) — проценты. Высоты прямоугольников:

\[ 6{,}7;\quad30;\quad40;\quad20;\quad3{,}3. \]

Прямоугольники стоят вплотную друг к другу, так как интервалы равной ширины.

---

4. Работа

\[ A=mgh. \]

\[ A=20\cdot10\cdot5=1000\text{ Дж}=1\text{ кДж}. \]

---

5. Интеграл, площадь, объём

Дано:

\[ y=x^4\sqrt{x^5+5}. \]

a) Замена переменной

\[ u=x^5+5,\qquad du=5x^4dx. \]

Значит, \(x^4dx=\dfrac{du}{5}\).

\[ \int x^4\sqrt{x^5+5}\,dx =\frac15\int u^{1/2}du =\frac15\cdot\frac23u^{3/2}+C. \]

\[ \boxed{ \frac{2}{15}(x^5+5)^{3/2}+C } \]

b) Площадь

\[ S=\int_{-1}^{1}x^4\sqrt{x^5+5}\,dx. \]

Первообразная:

\[ F(x)=\frac{2}{15}(x^5+5)^{3/2}. \]

\[ S=F(1)-F(-1). \]

\[ F(1)=\frac{2}{15}\cdot6^{3/2} =\frac{2}{15}\cdot6\sqrt6, \]

\[ F(-1)=\frac{2}{15}\cdot4^{3/2} =\frac{2}{15}\cdot8. \]

\[ S=\frac{2}{15}(6\sqrt6-8) =\frac{12\sqrt6-16}{15} \approx0{,}893. \]

c) Объём вращения вокруг \(OX\)

\[ V=\pi\int_0^1 y^2\,dx. \]

\[ y^2=x^8(x^5+5). \]

\[ V=\pi\int_0^1 x^8(x^5+5)\,dx \]

\[ =\pi\int_0^1(x^{13}+5x^8)\,dx \]

\[ =\pi\left[\frac{x^{14}}{14}+\frac{5x^9}{9}\right]_0^1 \]

\[ =\pi\left(\frac1{14}+\frac59\right) =\pi\cdot\frac{79}{126}. \]

\[ \boxed{V=\frac{79\pi}{126}\approx1{,}97} \]

---

6. Статистическая выборка

Таблица:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x_i & 5&6&7&8&9&10&11\\ \hline n_i & 5&8&12&9&6&0&3 \end{array} \]

a) Объём выборки

\[ n=5+8+12+9+6+0+3=43. \]

b) Мода и медиана

Мода — значение с наибольшей частотой:

\[ Mo=7. \]

Медиана: \(n=43\), значит median — \(22\)-е значение в упорядоченном ряду.

Накопленные частоты:

\[ 5;\ 13;\ 25;\ 34;\ 40;\ 40;\ 43. \]

22-е значение попадает в группу \(x=7\), поэтому

\[ Me=7. \]

c), d) Дисперсия и стандартное отклонение

Среднее:

\[ \bar x= \frac{5\cdot5+6\cdot8+7\cdot12+8\cdot9+9\cdot6+10\cdot0+11\cdot3}{43} \]

\[ =\frac{316}{43}\approx7{,}35. \]

Сумма квадратов:

\[ \sum n_ix_i^2=2426. \]

Дисперсия по школьной формуле с делением на \(n\):

\[ D=\frac{2426}{43}-\left(\frac{316}{43}\right)^2 =\frac{4462}{1849}\approx2{,}41. \]

Стандартное отклонение:

\[ \sigma=\sqrt D\approx\sqrt{2{,}41}\approx1{,}55. \]

Если в вашем курсе для выборки используют несмещённую оценку с делением на \(n-1\), то получатся \(D\approx2{,}47\), \(\sigma\approx1{,}57\).

e) Полигон частот

Нужно отметить точки

\[ (5;5),\ (6;8),\ (7;12),\ (8;9),\ (9;6),\ (10;0),\ (11;3) \]

и соединить их последовательно отрезками.