Реши задание на изображении
На доске три задания. Кратко:
- корней нет;
- корней нет;
- \(\displaystyle x=\frac{15}{16},\quad y=\frac{21}{32}\).
1) \(\displaystyle \frac{x-2}{x+3}=\frac{x-3}{x+2}\)
ОДЗ: \(x\neq -3,\ x\neq -2\).
Перемножаем крест-накрест:
\[ (x-2)(x+2)=(x-3)(x+3) \]
\[ x^2-4=x^2-9 \]
\[ -4=-9 \]
Получили неверное равенство, значит решений нет.
2) \(\displaystyle \frac{3}{x-1}-\frac{4x-1}{x+1} =\frac{x^2+5}{x^2-1}-5\)
ОДЗ:
\[ x\neq \pm 1 \]
Умножаем обе части на \((x-1)(x+1)=x^2-1\):
\[ 3(x+1)-(4x-1)(x-1)=x^2+5-5(x^2-1) \]
Раскрываем скобки:
\[ -4x^2+8x+2=-4x^2+10 \]
\[ 8x+2=10 \]
\[ 8x=8 \]
\[ x=1 \]
Но \(x=1\) запрещён ОДЗ, так как при нём знаменатель обращается в нуль. Это посторонний корень.
Ответ: корней нет.
3)
\[ \begin{cases} x+3=6y,\\ 5x+2y=6 \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ x=6y-3 \]
Подставляем во второе:
\[ 5(6y-3)+2y=6 \]
\[ 30y-15+2y=6 \]
\[ 32y=21 \]
\[ y=\frac{21}{32} \]
Тогда:
\[ x=6\cdot \frac{21}{32}-3 =\frac{126}{32}-\frac{96}{32} =\frac{30}{32} =\frac{15}{16} \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\frac{15}{16},\quad y=\frac{21}{32}} \]
Проверка:
\(\frac{15}{16}+3=\frac{63}{16}\), а \(6\cdot \frac{21}{32}=\frac{63}{16}\).
\(5\cdot \frac{15}{16}+2\cdot \frac{21}{32}=6\). Всё сходится.
Главный принцип: в дробно-рациональных уравнениях сначала находим ОДЗ, затем умножаем на общий знаменатель, решаем полученное уравнение и обязательно отбрасываем значения, запрещённые ОДЗ.
