10(71+9_67)6 _ 53?

Судя по записи, нужно проверить, делится ли
\[ 10^{\,71+9^{67}}+6 \] на \(53\). Да, делится: остаток равен \(0\).

Как это увидеть:

1. Работаем по модулю \(53\), то есть смотрим остатки при делении на \(53\).
   Так как \(53\) простое и \(10\) не делится на \(53\), по малой теореме Ферма: \[ 10^{52}\equiv 1 \pmod{53}. \] Поэтому показатель степени можно заменить на его остаток при делении на \(52\).

2. Найдём \(71+9^{67}\) по модулю \(52\): \[ 9^3=729=52\cdot14+1, \] значит \[ 9^{67}=9^{3\cdot22+1}\equiv 9 \pmod{52}. \] Тогда \[ 71+9^{67}\equiv 71+9=80\equiv 28 \pmod{52}. \]

3. Поэтому \[ 10^{71+9^{67}}\equiv 10^{28}\pmod{53}. \] Считаем: \[ 10^2\equiv -6,\quad 10^4\equiv 36,\quad 10^8\equiv 24,\quad 10^{16}\equiv 46 \pmod{53}. \] Тогда \[ 10^{28}=10^{16+8+4}\equiv 46\cdot24\cdot36\equiv47\equiv-6\pmod{53}. \]

4. Значит, \[ 10^{71+9^{67}}+6\equiv -6+6=0\pmod{53}. \]

Вывод: выражение действительно делится на \(53\).