Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Задание на фото 1: $\sqrt[3]{9x+8}=\sqrt[3]{26}$

Ответ: $x=2$

• Кубический корень из каждого числа единственный, поэтому равенство корней равносильно равенству подкоренных выражений: $9x+8=26$.
• $9x=18 \Rightarrow x=2$.
• Проверка: $\sqrt[3]{9\cdot 2+8}=\sqrt[3]{26}$ — верно.

Принцип: для нечётной степени (3, 5, …) возведение в степень — обратимая операция, поэтому посторонних корней не бывает. Для чётной степени (квадратный корень) всё сложнее — см. ниже.

Задание 4: $\sqrt{2x-5}=x-4$

Ответ: $x=7$

1. ОДЗ подкоренного: $2x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge 2{,}5$.
2. Левая часть неотрицательна всегда, значит и правая должна быть неотрицательной: $x-4\ge 0 \Rightarrow x\ge 4$. Это условие отсекает «лишние» корни — его легко забыть.
3. Возводим в квадрат: $2x-5=(x-4)^2=x^2-8x+16$.
4. Приводим к стандартному виду: $x^2-10x+21=0$, $D=100-84=16$, $x=\dfrac{10\pm 4}{2}$. Получаем $x=7$ или $x=3$.
5. Проверяем по условию $x\ge 4$: $x=3$ не подходит (тогда $\sqrt{1}=1$, а справа $3-4=-1$ — равенства нет). $x=7$: $\sqrt{14-5}=\sqrt9=3$ и $7-4=3$ ✓.

Общий приём для таких уравнений: сначала ОДЗ + неотрицательность правой части, потом возведение в квадрат, потом проверка корней — именно так вы отсеиваете посторонние решения.

Обе задачи — из той же темы (иррациональные уравнения), решаем тем же приёмом: возводим обе части в степень, но для чётной степени обязательно следим за ОДЗ.

Задача 5 (верхняя): $\sqrt[3]{x^3-7x^2-40}=x-2$

Ответ: $x=-4$ и $x=-8$

1. Кубический корень определён при любом значении подкоренного, а возведение в куб — обратимая операция, поэтому достаточно возвести обе части в куб (посторонних корней не будет, но проверка всё равно полезна).
2. $x^3-7x^2-40=(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$.
3. Переносим всё в одну сторону: $-x^2-12x-32=0$, то есть $x^2+12x+32=0$.
4. $D=144-128=16$, $;x=\dfrac{-12\pm4}{2}$: получаем $x=-4$ или $x=-8$.
5. Проверка: при $x=-4$ под корнем $-216$, слева $-6$, справа $-6$ ✓; при $x=-8$ под корнем $-1000$, слева $-10$, справа $-10$ ✓.

Задание 6: $\sqrt{6x-9}=\sqrt{10x+7}$

Ответ: решений нет

1. ОДЗ: $6x-9\ge0 \Rightarrow x\ge1{,}5$ и $10x+7\ge0 \Rightarrow x\ge-\dfrac{7}{10}$. Оба условия дают $x\ge1{,}5$.
2. Возводим в квадрат: $6x-9=10x+7 \Rightarrow -4x=16 \Rightarrow x=-4$.
3. Корень $x=-4$ не входит в ОДЗ: тогда $6x-9=-33<0$, подкоренное выражение отрицательно, корня не существует.

Принцип: у уравнений с кубическим корнем ограничений нет, у уравнений с квадратным — сначала выписываем ОДЗ, а уже потом возводим в квадрат; найденные корни обязательно сверяем с ОДЗ.