Представим, что натуральное число изменяют по следующему алгоритму: если число делится на 6, к нему добавляют 12; если число не делится на 2, из него вычитают 5; во всех остальных случаях добавляют 8. Было выполнено несколько, причём более одного, шагов такого алгоритма, и в результате получилось число 70. Какое число могло быть изначально?
Краткий ответ: изначально могло быть число 67.
Пойдём «обратным ходом» от 70.
Алгоритм:
- если число делится на 6, то \(n \to n+12\);
- если число нечётное, то \(n \to n-5\);
- иначе \(n \to n+8\).
Найдём, из каких чисел можно получить 70:
- Из делящегося на 6: \(n+12=70 \Rightarrow n=58\), но 58 не делится на 6 — не подходит.
- Из нечётного: \(n-5=70 \Rightarrow n=75\), 75 нечётное — подходит.
- В остальных случаях: \(n+8=70 \Rightarrow n=62\), 62 чётное и не делится на 6 — подходит.
Значит, прямо перед 70 могли стоять 75 или 62.
Но шагов было больше одного, поэтому начальное число не может быть 75 или 62: тогда до 70 был бы всего один шаг.
Ищем предыдущее для 62:
- \(n+12=62 \Rightarrow n=50\), не делится на 6;
- \(n-5=62 \Rightarrow n=67\), нечётное — подходит;
- \(n+8=62 \Rightarrow n=54\), но 54 делится на 6 — не подходит.
То есть перед 62 могло быть только 67.
Проверка: \[ 67 \to 67-5=62 \] так как 67 нечётное; \[ 62 \to 62+8=70 \] так как 62 чётное и не делится на 6.
Получили два шага, что соответствует условию.
Ответ: 67.
Обсуждение
1 сообщениеНа круговой гирлянде 211 лампочек, каждая либо горит, либо не горит. Лампочки одновременно меняют своё состояние каждую секунду по следующему правилу пяти ближайших соседей. Рассмотрим лампочку Л, две соседние справа и слева лампочки. Если среди них горящих лампочек больше, чем не горящих, в следующую секунду лампочка Л загорится. В противном случае в следующую секунду лампочка Л не горит. В некоторый момент оказалось, что горят все лампочки. Какое наименьшее число лампочек могло гореть секунду назад?
