На круговой гирлянде 211 лампочек, каждая либо горит, либо не горит. Лампочки одновременно меняют своё состояние каждую секунду по следующему правилу пяти ближайших соседей. Рассмотрим лампочку Л, две соседние справа и слева лампочки. Если среди них горящих лампочек больше, чем не горящих, в следующую секунду лампочка Л загорится. В противном случае в следующую секунду лампочка Л не горит. В некоторый момент оказалось, что горят все лампочки. Какое наименьшее число лампочек могло гореть секунду назад?
Ответ: 127 лампочек.
Как получается
Чтобы через секунду каждая лампочка горела, для любой лампочки в пятёрке «сама лампочка + две слева + две справа» должно быть горящих больше, чем негорящих, то есть:
\[ \text{в любых 5 подряд идущих лампочках — не более 2 негорящих.} \]
Пусть в предыдущий момент не горело \(x\) лампочек. Посчитаем, сколько раз негорящие лампочки входят в такие пятёрки.
- Пятёрок на круге \(211\).
- В каждой не больше \(2\) негорящих, значит всего вхождений не больше \[ 211\cdot 2=422. \]
- Каждая негорящая лампочка входит ровно в \(5\) пятёрок, поэтому \[ 5x\le 422. \]
Отсюда
\[ x\le \left\lfloor\frac{422}{5}\right\rfloor=84. \]
Значит, гореть в предыдущий момент могло не меньше
\[ 211-84=127 \]
лампочек.
Почему 127 достижимо
Пронумеруем лампочки от \(1\) до \(211\). Оставим негорящими лампочки с номерами
\[ 1,2,6,7,11,12,\dots,206,207, \]
то есть среди номеров \(1,\dots,210\) берём номера, дающие остаток \(1\) или \(2\) при делении на \(5\). Их ровно
\[ 42\cdot 2=84. \]
Остальные \(127\) лампочек горят. В любых пяти подряд идущих лампочках тогда не более двух негорящих, поэтому при следующем переключении все 211 лампочек загорятся.
Следовательно, минимально возможное число горевших лампочек секунду назад:
\[ \boxed{127} \]
Принцип: ищем не минимум горящих напрямую, а максимум негорящих; условие «все станут горящими» превращается в локальное ограничение: в любом окне из 5 лампочек не больше 2 негорящих.
Обсуждение
5 сообщенийМодель искусственного интеллекта различает пиксельные цифры 3 и 8. Для каждой цифры у модели есть эталонное изображение: Расстоянием между двумя изображениями называется число клеток, цвет которых на этих изображениях различается. Модель сравнивает новое изображение с обоими эталонами и выбирает цифру с меньшим расстоянием. Если расстояния равны, модель выбирает цифру 8. Модели предложили три новых изображения: Позже к ним также добавили изображение D, которое отличается от изображения C на одну клетку: верхняя левая клетка изменена с чёрной на белую. Заполните таблицу. Изображение A Изображение B Изображение C Изображение D Расстояние до эталона 3 Расстояние до эталона 8 Какую цифру выберет модель? Ответ:
Таблица заполняется так:
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| Расстояние до эталона 3 | 1 | 9 | 4 | 5 |
| Расстояние до эталона 8 | 9 | 1 | 6 | 5 |
| Какую цифру выберет модель? | 3 | 8 | 3 | 8 |
Правило выбора
Модель сравнивает два расстояния:
- если расстояние до эталона \(3\) меньше — выбирает 3;
- если расстояние до эталона \(8\) меньше — выбирает 8;
- если расстояния равны — выбирает 8.
Поэтому:
- A: \(1<9\) → цифра 3;
- B: \(9>1\) → цифра 8;
- C: \(4<6\) → цифра 3;
- D: \(5=5\), расстояния равны → по правилу выбирается 8.
Почему у D получилось \(5\) и \(5\)
Изображение D отличается от C на одну клетку. При изменении одной клетки расстояние до каждого эталона меняется на \(1\):
- до эталона \(3\): было \(4\), стало \(5\);
- до эталона \(8\): было \(6\), стало \(5\).
Значит, для D расстояния одинаковые, и модель выбирает 8.
Модель искусственного интеллекта исправляет опечатки в словах. В её словаре находятся только четыре слова, записанные в таком порядке: 1. КОТ 2. КИТ 3. РОТ 4. КОД Все слова состоят из трёх букв. Расстоянием между двумя словами модель называет количество позиций, в которых буквы различаются. Например, расстояние между словами КОТ и КИТ равно 1, между КОТ и РОТ — 1, а между КОТ и РИД — 3. Получив неизвестное слово, модель выбирает словарное слово с наименьшим расстоянием. Если минимальное расстояние одинаково для нескольких слов, модель выбирает то, которое стоит раньше в словаре. Рассмотрим слова КАТ, РОД, КОД. Заполните таблицу расстояний. Слово | КОТ | КИТ | РОТ | КОД КАТ | __ | __ | __ | __ РОД | __ | __ | __ | __
Модель искусственного интеллекта исправляет опечатки в словах. В её словаре находятся только четыре слова, записанные в таком порядке: 1. КОТ 2. КИТ 3. РОТ 4. КОД Все слова состоят из трёх букв. Расстоянием между двумя словами модель называет количество позиций, в которых буквы различаются. Например, расстояние между словами КОТ и КИТ равно 1, между КОТ и РОТ — 1, а между КОТ и РИД — 3. Получив неизвестное слово, модель выбирает словарное слово с наименьшим расстоянием. Если минимальное расстояние одинаково для нескольких слов, модель выбирает то, которое стоит раньше в словаре. Рассмотрим слова КАТ, РОД, КОД. Заполните таблицу расстояний. Слово | КОТ | КИТ | РОТ | КОД КАТ | __ | __ | __ | __ РОД | __ | __ | __ | __
Заполненная таблица расстояний:
| Слово | КОТ | КИТ | РОТ | КОД |
|---|---|---|---|---|
| КАТ | 1 | 1 | 2 | 2 |
| РОД | 2 | 3 | 1 | 1 |
| КОД (дополнительно) | 1 | 2 | 2 | 0 |
Как модель выберет слова:
- КАТ: минимальное расстояние \(1\), но оно одинаково у КОТ и КИТ. По правилу при равенстве выбирается слово, стоящее раньше, значит КОТ.
- РОД: минимальное расстояние \(1\), оно одинаково у РОТ и КОД. Раньше в словаре стоит РОТ, значит выбирается РОТ.
- КОД: расстояние \(0\) до слова КОД, поэтому выбирается КОД.
Итог: \[ \boxed{\text{КАТ}\to\text{КОТ},\quad \text{РОД}\to\text{РОТ},\quad \text{КОД}\to\text{КОД}} \]
В основной таблице из задания указываем только две строки:
| Слово | КОТ | КИТ | РОТ | КОД |
|---|---|---|---|---|
| КАТ | 1 | 1 | 2 | 2 |
| РОД | 2 | 3 | 1 | 1 |
