Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$ (или наоборот — порядок не важен).
Как решать: способ 1 — по теореме Виета
Уравнение приведённое (коэффициент при $x^2$ равен 1), значит для корней верно:
- $x_1 + x_2 = 5$ (сумма равна второму коэффициенту с минусом),
- $x_1 \cdot x_2 = 6$ (произведение равно свободному члену).
Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3: $$2 + 3 = 5, \qquad 2 \cdot 3 = 6.$$ Значит $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Способ 2 — через дискриминант (универсальный)
$$a = 1,\ b = -5,\ c = 6$$ $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $D > 0$ — два корня: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = \frac{5-1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3.$$
Способ 3 — разложение на множители
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x = 2$ или $x = 3$.
Проверка
- $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$ ✔
- $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$ ✔
Принцип: у приведённого квадратного уравнения корни «собираются» из двух чисел, дающих в сумме $-b$ и в произведении $c$. Быстрый путь — Виета/разложение, надёжный при любых коэффициентах — дискриминант.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Похоже, речь про строку $(x-2)(x-3)=0$ — откуда там взялся $x$. Разберу по порядку.
1. Что такое $x$
$x$ — это не какое-то конкретное число, а обозначение неизвестного числа, которое мы ищем. Уравнение — это вопрос: «при каком числе вместо $x$ равенство станет верным?» Пока мы не знаем ответ, пишем букву.
2. Откуда берутся скобки с $x$
Мы не «придумали» $x$ заново — мы переписали то же самое выражение $x^2-5x+6$ в виде произведения. Проверим, что это одно и то же, раскрыв скобки (каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй):
$$(x-2)(x-3) = x\cdot x + x\cdot(-3) + (-2)\cdot x + (-2)\cdot(-3)$$
Считаем каждое произведение:
- $x \cdot x = x^2$
- $x \cdot (-3) = -3x$
- $(-2)\cdot x = -2x$
- $(-2)\cdot(-3) = 6$
Складываем: $$x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$$
Получилось ровно исходное выражение. Значит запись $(x-2)(x-3)$ — это та же самая левая часть, просто в другом виде (как $12 = 3\cdot 4$). Здесь $x$ — тот же самый неизвестный $x$, он никуда не делся.
3. Зачем переписывать в произведение
Дальше работает правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
- Если $x = 2$, то первая скобка $2-2=0$, и всё произведение $0\cdot(2-3)=0$.
- Если $x = 3$, то вторая скобка $3-3=0$, и $ (3-2)\cdot 0 = 0$.
- А если $x$ — любое другое число (например, 10), то обе скобки не нули: $8 \cdot 7 = 56 \ne 0$.
Значит $x-2=0$ или $x-3=0$, то есть $x=2$ или $x=3$.
4. Небольшое уточнение про буквы $x_1$ и $x_2$
В способе с Виетой $x_1$ и $x_2$ — это уже найденные числа (2 и 3), а индексы 1 и 2 просто нумеруют «первый корень» и «второй корень». Там $x$ — не переменная, а имя для ответа.
Если ты имел в виду другой этап (например, формулу $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$) — скажи, разберу именно её.
