Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это новое самостоятельное задание: в предыдущей истории не было учебной задачи, поэтому продолжаем с чистого листа. Разбираю оба уравнения с проверкой.

1) \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+5}=\sqrt{4-5x}\)

ОДЗ: \[ x+2\ge 0,\quad x+5\ge 0,\quad 4-5x\ge 0 \] \[ x\in\left[-2;\frac45\right]. \]

Возводим в квадрат: \[ (x+2)+(x+5)+2\sqrt{(x+2)(x+5)}=4-5x \] \[ 2x+7+2\sqrt{(x+2)(x+5)}=4-5x \] \[ 2\sqrt{(x+2)(x+5)}=-7x-3. \]

Левая часть неотрицательна, значит: \[ -7x-3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le -\frac37. \] С учётом ОДЗ: \[ x\in\left[-2;-\frac37\right]. \]

Ещё раз возводим в квадрат: \[ 4(x+2)(x+5)=(-7x-3)^2 \] \[ 4x^2+28x+40=49x^2+42x+9 \] \[ 45x^2+14x-31=0. \]

Дискриминант: \[ D=14^2-4\cdot45\cdot(-31)=196+5580=5776=76^2. \] \[ x=\frac{-14\pm76}{90}. \] Получаем: \[ x_1=\frac{62}{90}=\frac{31}{45},\qquad x_2=\frac{-90}{90}=-1. \]

Корень \(x_1=\frac{31}{45}\) не подходит, так как должно быть \(x\le -\frac37\).
Корень \(x_2=-1\) подходит.

Проверка: \[ \sqrt{-1+2}+\sqrt{-1+5}=1+2=3, \] \[ \sqrt{4-5(-1)}=\sqrt9=3. \]

Ответ: \(x=-1\).

2) \(\dfrac{6}{x-3}-\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}-1=0\)

ОДЗ: \[ x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>3. \]

Сделаем замену: \[ t=\frac{1}{\sqrt{x-3}}>0. \] Тогда \[ \frac{6}{x-3}=6t^2. \] Уравнение принимает вид: \[ 6t^2-t-1=0. \]

Решаем: \[ D=1+24=25, \] \[ t=\frac{1\pm5}{12}. \] \[ t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac13. \]

Так как \(t>0\), подходит только \(t=\frac12\): \[ \frac{1}{\sqrt{x-3}}=\frac12 \] \[ \sqrt{x-3}=2 \] \[ x-3=4 \] \[ x=7. \]

Проверка: \[ \frac{6}{7-3}-\frac{1}{\sqrt{7-3}}-1 =\frac64-\frac12-1 =1{,}5-0{,}5-1=0. \]

Ответ: \(x=7\).

Это продолжение текущей учебной цели: та же тема — решение иррациональных уравнений, и снова удобна замена.

Задание 5

\[ x^2-4x-5-2\sqrt{x^2-4x-5}=8 \]

Решение

Обозначим

\[ t=\sqrt{x^2-4x-5},\qquad t\ge 0. \]

Тогда

\[ t^2=x^2-4x-5. \]

Уравнение принимает вид:

\[ t^2-2t=8 \]

\[ t^2-2t-8=0 \]

\[ (t-4)(t+2)=0. \]

Значит,

\[ t=4 \quad \text{или} \quad t=-2. \]

Так как \(t\ge 0\), подходит только

\[ t=4. \]

Возвращаемся к замене:

\[ \sqrt{x^2-4x-5}=4 \]

\[ x^2-4x-5=16 \]

\[ x^2-4x-21=0 \]

\[ (x-7)(x+3)=0. \]

Отсюда:

\[ x=7 \quad \text{или} \quad x=-3. \]

Проверка

При \(x=7\):

\[ 49-28-5=16,\qquad 16-2\sqrt{16}=16-8=8. \]

При \(x=-3\):

\[ 9+12-5=16,\qquad 16-2\sqrt{16}=16-8=8. \]

Оба корня подходят.

Ответ

\[ \boxed{x=-3;\quad x=7} \]

Можно записать короче: \(\boxed{-3;\,7}\).

Это продолжение текущей учебной цели: та же тема — иррациональные уравнения, следующее задание.

Задание 7

\[ \left(x^{\frac23}-6x^{\frac13}+8\right)\sqrt{x^2-100}=0 \]

1. ОДЗ

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ x^2-100\ge 0 \]

\[ x\le -10 \quad \text{или} \quad x\ge 10. \]

2. Произведение равно нулю

\[ x^{\frac23}-6x^{\frac13}+8=0 \]

или

\[ \sqrt{x^2-100}=0. \]

Первый множитель

Сделаем замену:

\[ t=x^{\frac13}. \]

Тогда \(x^{\frac23}=t^2\), и уравнение принимает вид:

\[ t^2-6t+8=0. \]

\[ (t-2)(t-4)=0. \]

Значит:

\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=4. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x=2^3=8 \]

или

\[ x=4^3=64. \]

Но по ОДЗ подходит только \(x=64\), так как \(8<10\).

Второй множитель

\[ \sqrt{x^2-100}=0 \]

\[ x^2-100=0 \]

\[ x=\pm 10. \]

Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ

\[ \boxed{-10;\ 10;\ 64} \]

Кратко: \(x=-10,\ x=10,\ x=64\).