Реши задание на изображении

Кратко

1. А — 4, Б — 1, В — 3, Г — 2
2. Верные утверждения: б, в, г, д
3. Стороны прямоугольника: 13 см и 15 см; оставшиеся стороны — 13 см, 15 см, 15 см.
4. Углы: 70°, 70°, 110°, 110°.
5. Площадь трапеции: 102 см².
6. Доказательство ниже.
7. Четырёхугольник \(QMKP\) — равнобедренная трапеция.
8. Алгоритм построения ниже.

1. Соответствие

• Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны: А — 4.
• Прямоугольник — все углы прямые: Б — 1.
• Ромб — все стороны равны: В — 3.
• Трапеция — две стороны параллельны, а две другие нет: Г — 2.

2. Верные утверждения

• а) неверно: диагонали равны не у любого параллелограмма, а только у прямоугольника;
• б) верно: диагонали ромба перпендикулярны;
• в) верно: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, это параллелограмм;
• г) верно: у трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают \(180^\circ\);
• д) верно: у ромба все стороны равны, а площадь \(S=ah\), поэтому все высоты одинаковы.

3. Периметр прямоугольника

Пусть соседняя сторона \(x\). Тогда \[ 2(13+x)=56, \] \[ 13+x=28,\quad x=15. \] Стороны: \(13\) см и \(15\) см.

4. Углы параллелограмма

Сумма двух соседних углов равна \(180^\circ\), значит \(140^\circ\) — сумма двух противоположных равных углов: \[ 140^\circ:2=70^\circ. \] Другие углы: \[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ. \] Ответ: \(70^\circ,70^\circ,110^\circ,110^\circ\).

5. Площадь прямоугольной трапеции

Меньшая диагональ образует прямоугольный треугольник с высотой трапеции и меньшим основанием \(5\) см: \[ 13^2=5^2+h^2, \] \[ h^2=169-25=144,\quad h=12. \] Тогда \[ S=\frac{5+12}{2}\cdot 12=17\cdot 6=102\text{ см}^2. \]

6. Доказательство

Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\): \[ AB=BC=CD=DA. \] Проведём диагональ \(AC\). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам. Следовательно, накрест лежащие углы при секущей \(AC\) равны, значит \[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \] То есть \(ABCD\) — параллелограмм. Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

7. Вид четырёхугольника

В параллелограмме \(MNPQ\): \[ QM\parallel NP,\qquad QM=NP. \] Точка \(K\) лежит на \(NP\), поэтому \(QM\parallel KP\). Значит, \(QMKP\) — трапеция.

Далее: \[ NK:KP=3:1 \Rightarrow NP=4KP. \] Но \(QM=NP\), поэтому \(QM=4KP\), то есть основания \(QM\) и \(KP\) не равны. Следовательно, \(QMKP\) не параллелограмм.

Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Ответ: равнобедренная трапеция.

8. Алгоритм построения трапеции по основаниям и диагоналям

Пусть \(a\) — большее основание, \(b\) — меньшее, \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали.

1. На прямой отложить отрезок \(AE=a+b\).
2. На \(AE\) отметить точку \(D\) так, чтобы \(AD=a\). Тогда \(DE=b\).
3. Построить треугольник \(ACE\) по сторонам: \[ AC=d_1,\qquad CE=d_2,\qquad AE=a+b. \]
4. Через точку \(C\) провести прямую, параллельную \(AE\).
5. Через точку \(D\) провести прямую, параллельную \(CE\). Точку пересечения с прямой из пункта 4 обозначить \(B\).
6. Соединить точки \(A,B,C,D\).

Получится трапеция \(ABCD\), где \(AD=a\), \(BC=b\), \(AC=d_1\), \(BD=d_2\). Действительно, \(BCED\) — параллелограмм, поэтому \(BC=DE=b\) и \(BD=CE=d_2\).