Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Ключевая идея

Перед нами приведённое квадратное уравнение ($a=1$). Его левую часть можно разложить на множители, если найти два числа, которые в сумме дают 5 (число с противоположным знаком при $x$) и в произведении дают 6 (свободный член). Это и есть теорема Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=6$$

Способ 1. Подбор по Виету

Ищем пары множителей числа 6: $1\cdot6$, $2\cdot3$.

• $1+6=7$ — не подходит;
• $2+3=5$ — подходит.

Значит, $x_1=2$, $x_2=3$. И сразу разложение:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: $x-2=0$ или $x-3=0$.

Способ 2. Универсальный — через дискриминант

Если корни не подбираются, работает формула:

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2};\Rightarrow; x_1=\frac{6}{2}=3,\quad x_2=\frac{4}{2}=2$$

Проверка

• $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
• $x=3$: $9-15+6=0$ ✔

Принцип для похожих заданий

1. Убедись, что уравнение приведено к виду $ax^2+bx+c=0$.
2. Если $a=1$ и корни целые — ищи их по Виету: сумма $=-b$, произведение $=c$. Это самый быстрый путь.
3. Если подбор не идёт (корни дробные или иррациональные) — считай дискриминант: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
4. Всегда подставляй найденные корни в исходное уравнение — это ловит ошибки со знаками.