Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как это понять
Уравнение имеет вид
\[ x^2-5x+6=0. \]
Если коэффициент перед \(x^2\) равен 1, можно попробовать разложить трёхчлен на множители. Ищем два числа, которые:
- при умножении дают \(6\);
- при сложении дают \(5\).
Это \(2\) и \(3\), потому что
\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]
Значит,
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2, \]
\[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3. \]
Проверка
Подставим \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]
Подставим \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба значения подходят.
Принцип: для уравнения \(x^2+bx+c=0\) ищем два числа, произведение которых равно \(c\), а сумма равна \(-b\). В нашем случае \(b=-5\), поэтому сумма должна быть \(5\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко: буква \(x\) появляется в скобках потому, что при раскрытии скобок должно получиться \(x^2\). А \(x^2=x\cdot x\) — то есть \(x\) нужно умножить сам на себя, значит, в каждой скобке должен стоять \(x\).
Шаг за шагом
Мы хотим записать \(x^2-5x+6\) в виде произведения двух скобок. Пробуем такой вид:
\[ (x-a)(x-b). \]
Раскроем скобки «фонтанчиком» — каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй:
\[ (x-a)(x-b)=x\cdot x+x\cdot(-b)+(-a)\cdot x+(-a)(-b). \]
Считаем каждое слагаемое:
\[ x\cdot x=x^2, \]
\[ x\cdot(-b)=-bx, \]
\[ (-a)\cdot x=-ax, \]
\[ (-a)(-b)=ab. \]
Складываем:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-bx-ax+ab=x^2-(a+b)x+ab. \]
Сравниваем с нашим уравнением
У нас было
\[ x^2-5x+6. \]
Сравниваем с \(x^2-(a+b)x+ab\):
- перед \(x\) стоит \(-5\), значит, \(a+b=5\);
- свободный член равен \(6\), значит, \(ab=6\).
Подбираем: \(2+3=5\) и \(2\cdot3=6\). Поэтому \(a=2\), \(b=3\), и
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Откуда \(x\) — «честный» вывод через группировку
Если подбор кажется фокусом, вот тот же результат без догадок. Разобьём \(-5x\) на \(-2x-3x\):
\[ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6. \]
Группируем попарно:
\[ (x^2-2x)+(-3x+6). \]
Из первой пары выносим \(x\), из второй — \((-3)\):
\[ x(x-2)-3(x-2). \]
Теперь в обеих частях есть общая скобка \((x-2)\), выносим её:
\[ (x-2)(x-3). \]
Здесь \(x\) появился потому, что мы вынесли общий множитель \(x\) из выражения \(x^2-2x\).
Проверка умножением
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Совпало с исходным выражением — значит, разложение верное. А дальше:
\[ (x-2)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=2 \text{ или } x=3. \]
