Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$$
Способ 1: по теореме Виета (быстрый)
Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ (коэффициент при $x^2$ равен 1) корни связаны так:
$$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q$$
У нас $p = -5$, $q = 6$, значит:
- сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
- произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$
Подбираем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6 — это $2$ и $3$.
Способ 2: через дискриминант (универсальный)
$$x^2 - 5x + 6 = 0,\quad a=1,\ b=-5,\ c=6$$
$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$
$D > 0$, значит корней два:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$$
$$x_1 = \frac{5-1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$$
Проверка
Подставим $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$ ✔ Подставим $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$ ✔
Почему так работает и как делать похожие
Уравнение раскладывается на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, — отсюда и два корня.
Алгоритм для любого такого уравнения:
- Проверь, равен ли коэффициент при $x^2$ единице (если нет — можно разделить всё уравнение на него).
- Либо подбери два числа по Виету (сумма $=-p$, произведение $=q$) — это быстро, когда корни целые.
- Либо посчитай $D$: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
