Реши задание на изображении

На фото внизу дан пример
\[ f(x)=\frac{x^3+x}{x^3-x}. \]

Краткий ответ:
\[ D(f)=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}, \] функция чётная, её график симметричен относительно оси \(Oy\).

Как это получить

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x^3-x\ne0 \] \[ x(x^2-1)\ne0 \] \[ x(x-1)(x+1)\ne0. \] Значит, \[ x\ne -1,\quad x\ne0,\quad x\ne1. \] То есть \[ D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty). \] Эта область симметрична относительно нуля — первое условие для проверки чётности выполнено.

2. Проверяем \(f(-x)\). \[ f(-x)=\frac{(-x)^3+(-x)}{(-x)^3-(-x)} =\frac{-x^3-x}{-x^3+x}. \] Вынесем минус: \[ f(-x)=\frac{-(x^3+x)}{-(x^3-x)} =\frac{x^3+x}{x^3-x}=f(x). \] Так как \(f(-x)=f(x)\), функция чётная.

3. Можно упростить, но с ограничением \(x\ne0\): \[ f(x)=\frac{x(x^2+1)}{x(x^2-1)} =\frac{x^2+1}{x^2-1},\qquad x\ne0. \] Отсюда тоже видно, что \(f(-x)=f(x)\).

4. Проверка числом: \[ f(2)=\frac{8+2}{8-2}=\frac{10}{6}=\frac53, \] \[ f(-2)=\frac{-8-2}{-8+2}=\frac{-10}{-6}=\frac53. \] Значения равны, значит, чётность подтверждается.

Важно: \(x=0\) всё равно не входит в область определения исходной функции, хотя после сокращения на \(x\) эта точка «исчезает» из формулы.