Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как рассуждать:
Уравнение вида
\[
x^2-5x+6=0
\]
можно решить разложением на множители. Нужно найти два числа, которые:
- в произведении дают \(6\),
- в сумме дают \(5\) (так как перед \(x\) стоит \(-5\)).
Это числа \(2\) и \(3\), потому что: \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]
Значит: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
Для \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]
Для \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Обе проверки верны.
Принцип: для похожего уравнения \(x^2+bx+c=0\) ищем два числа, произведение которых равно \(c\), а сумма равна числу с противоположным знаком перед \(x\). Если подобрать трудно, можно использовать дискриминант.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос. \(x\) — это тот же самый неизвестный \(x\) из уравнения. Он не появился заново: мы просто записали исходное выражение в виде произведения.
1. Почему \((x-2)(x-3)\) соответствует \(x^2-5x+6\)
Раскроем скобки:
\[ (x-2)(x-3) \]
Сначала умножим \(x\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ x(x-3)=x^2-3x \]
Потом умножим \(-2\) на каждое слагаемое второй скобки:
\[ -2(x-3)=-2x+6 \]
Складываем:
\[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Получили ровно исходное выражение. Поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
2. Как это получить, а не просто угадать
Разложим \(-5x\) на два слагаемых:
\[ -5x=-2x-3x \]
Тогда:
\[ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6 \]
Теперь группируем:
\[ (x^2-2x)-(3x-6) \]
Выносим общий множитель:
\[ x(x-2)-3(x-2) \]
В обеих частях есть общая скобка \((x-2)\), выносим её:
\[ (x-2)(x-3) \]
3. Главное
Запись \((x-2)\) означает «\(x\) минус \(2\)», а не умножение.
А \(x\) — это неизвестное число из уравнения. Мы не придумали новое \(x\), а разложили исходное выражение на множители.
После этого:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Значит:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).
