Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).

Способ 1. Разложение на множители (Виет)

Если уравнение приведённое (коэффициент при \(x^2\) равен 1), то его можно записать так: \[ x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2), \] откуда \(x_1+x_2=-b\), а \(x_1\cdot x_2=c\).

У нас \(b=-5\), \(c=6\), значит нужны два числа:

• сумма \(=5\),
• произведение \(=6\).

Это \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot3=6\). Поэтому \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \[ x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0, \] два корня: \[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}, \] то есть \(x=\frac{5+1}{2}=3\) и \(x=\frac{5-1}{2}=2\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0,\qquad 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Оба корня подходят.

Принцип на будущее: сначала пробуй подобрать два числа по сумме и произведению (это быстро); если не подбираются — считай дискриминант. Знаки важны: сумма корней равна \(-b\), то есть для \(-5x\) это \(+5\).