Реши задание на изображении
Кратко:
- \(\varnothing\) — корней нет.
- \(\varnothing\) — корней нет.
- \(\left(\frac{21}{16};\ \frac{23}{32}\right)\).
1) \(\dfrac{x-2}{x+3}=\dfrac{x-3}{x+2}\)
ОДЗ: \(x\ne -3,\ x\ne -2\).
Умножаем крест-накрест:
\[ (x-2)(x+2)=(x-3)(x+3) \]
\[ x^2-4=x^2-9 \]
\[ -4=-9 \]
Получили неверное равенство, значит, решений нет.
Ответ: \(\varnothing\).
2) \(\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{4x-1}{x+1}=\dfrac{x^2+5}{x^2-1}-5\)
ОДЗ: \(x\ne 1,\ x\ne -1\), так как \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).
Умножим обе части на \(x^2-1\):
\[ 3(x+1)-(4x-1)(x-1)=x^2+5-5(x^2-1) \]
Раскрываем скобки:
\[ 3x+3-(4x^2-5x+1)=x^2+5-5x^2+5 \]
\[ -4x^2+8x+2=-4x^2+10 \]
\[ 8x+2=10 \]
\[ 8x=8 \]
\[ x=1 \]
Но \(x=1\) не входит в ОДЗ: при \(x=1\) знаменатели обращаются в нуль. Значит, это посторонний корень.
Ответ: \(\varnothing\).
3)
\[ \begin{cases} x+3=6y\\ 5x+2y=8 \end{cases} \]
Из первого уравнения выразим \(x\):
\[ x=6y-3 \]
Подставим во второе:
\[ 5(6y-3)+2y=8 \]
\[ 30y-15+2y=8 \]
\[ 32y=23 \]
\[ y=\frac{23}{32} \]
Теперь найдём \(x\):
\[ x=6\cdot \frac{23}{32}-3 \]
\[ x=\frac{138}{32}-\frac{96}{32}=\frac{42}{32}=\frac{21}{16} \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\frac{21}{16},\quad y=\frac{23}{32}} \]
Принцип: в дробно-рациональных уравнениях сначала записывают ОДЗ, потом умножают на общий знаменатель, а найденные корни обязательно проверяют. В системах удобно выразить одну переменную через другую и подставить.
