номер 1192

Отмечаем на единичной окружности. Угол \(\alpha\) соответствует точке
\[ (\cos\alpha;\ \sin\alpha). \] Поэтому:

• \(\sin x=a\) — это пересечение окружности с горизонтальной прямой \(y=a\);
• \(\cos x=a\) — с вертикальной прямой \(x=a\).

Схемы ниже условные: важно расположение точек, а не точный масштаб. Точки ● — корни.

---

1) \(\sin^2x=\frac14\)

Было: \[ \sin x=\pm\frac12. \]

Проводим две горизонтали: \[ y=\frac12 \quad \text{и}\quad y=-\frac12. \]

Они дают четыре точки:

              y
              ↑
       5π/6   │   π/6
          ●───┼───●      y = 1/2
         ╱    │    ╲
   ─────●─────┼─────●────→ x
         ╲    │    ╱
       7π/6   │  11π/6
              ↓          y = -1/2

Точки:

\[ \frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{11\pi}{6}. \]

В градусах: \(30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ\).

Противоположные точки отличаются на \(\pi\), поэтому ответ коротко: \[ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k. \]

---

2) \(\cos^2x=\frac12\)

Было: \[ \cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]

Теперь проводим две вертикали: \[ x=\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{и}\quad x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Получаем четыре точки:

              y
              ↑
       3π/4   │   π/4
          ●───┼───●
         ╱    │    ╲
   ─────●─────┼─────●────→ x
         ╲    │    ╱
       5π/4   │   7π/4
              ↓

Точки:

\[ \frac{\pi}{4},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}. \]

В градусах: \(45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ\).

Ответ: \[ x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

---

3) \(2\sin^2x+\sin x-1=0\)

Было: \[ \sin x=\frac12 \quad \text{или}\quad \sin x=-1. \]

• \(\sin x=\frac12\) — горизонталь \(y=\frac12\), точки \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\);
• \(\sin x=-1\) — самая нижняя точка окружности, угол \(\frac{3\pi}{2}\) или \(-\frac{\pi}{2}\).

              y
              ↑
       5π/6   │   π/6
          ●───┼───●      y = 1/2
         ╱    │    ╲
   ─────●─────┼─────●────→ x
         ╲    │    ╱
              ● 3π/2 = -π/2
              ↓

На окружности всего три точки:

\[ \frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \frac{3\pi}{2}. \]

Поэтому ответ: \[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Здесь нельзя писать \(+\pi k\) для \(\frac{\pi}{6}\): через пол-оборота синус уже равен \(-\frac12\), а нам нужно только \(\frac12\).

---

4) \(2\cos^2x+\cos x-6=0\)

После замены получились \[ \cos x=\frac32 \quad \text{или}\quad \cos x=-2. \]

Но косинус принимает значения только от \(-1\) до \(1\). Значит, ни одна vertical line \[ x=\frac32,\qquad x=-2 \] не пересекает единичную окружность.

На окружности не отмечаем ни одной точки — решений нет.

---

Коротко для тетради

Уравнение	Что провести на окружности	Отмеченные точки
\(\sin^2x=\frac14\)	\(y=\pm\frac12\)	\(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\)
\(\cos^2x=\frac12\)	\(x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)
\(2\sin^2x+\sin x-1=0\)	\(y=\frac12\), \(y=-1\)	\(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\)
\(2\cos^2x+\cos x-6=0\)	пересечений нет	нет точек

Да. Вот полное оформление № 1192: решение, ответ и схематичные отметки на единичной окружности.

---

1) \(\sin^2 x=\dfrac14\)

Решение:

\[ \sin x=\pm\frac12 \]

Значит:

\[ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k; \]

\[ \sin x=-\frac12 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

Объединяя, получаем:

\[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]

Отметки на окружности:
точки с углами
\[ \frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{11\pi}{6}. \]

Схема:

                 y
                 ↑
         5π/6    │    π/6
            ●────┼────●      y = 1/2
           ╱     │     ╲
    ──────╱──────┼──────╲──────→ x
          ╲      │      ╱
           ╲     │     ╱
            ●────┼────●      y = -1/2
         7π/6    │   11π/6
                 ↓

---

2) \(\cos^2 x=\dfrac12\)

Решение:

\[ \cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2} \]

То есть:

\[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k; \]

\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k. \]

Следовательно:

\[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]

Или в более компактном виде:

\[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z. \]

Отметки на окружности:
точки с углами
\[ \frac{\pi}{4},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}. \]

Схема:

                 y
                 ↑
         3π/4    │    π/4
            ●    │    ●
           ╱     │     ╲
    ──────╱──────┼──────╲──────→ x
          ╲      │      ╱
           ╲     │     ╱
            ●    │    ●
         5π/4    │   7π/4
                 ↓

---

3) \(2\sin^2 x+\sin x-1=0\)

Решение:

Пусть

\[ t=\sin x,\qquad -1\le t\le 1. \]

Тогда:

\[ 2t^2+t-1=0 \]

\[ (2t-1)(t+1)=0 \]

\[ t=\frac12 \quad \text{или}\quad t=-1. \]

Оба значения подходят.

Возвращаемся к \(\sin x\):

\[ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k; \]

\[ \sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\\ x&=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\\ x&=-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \end{aligned} \quad k\in\mathbb Z.} \]

Отметки на окружности:
точки с углами
\[ \frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \frac{3\pi}{2}. \]

Схема:

                 y
                 ↑
         5π/6    │    π/6
            ●────┼────●      y = 1/2
           ╱     │     ╲
    ──────╱──────┼──────╲──────→ x
          ╲      │      ╱
           ╲     │     ╱
            ╲    │    ╱
             ╲   │   ╱
               ● │            y = -1
             3π/2 = -π/2
                 ↓

---

4) \(2\cos^2 x+\cos x-6=0\)

Решение:

Пусть

\[ t=\cos x,\qquad -1\le t\le 1. \]

Тогда:

\[ 2t^2+t-6=0 \]

\[ D=1+48=49 \]

\[ t=\frac{-1\pm7}{4} \]

\[ t=\frac32 \quad \text{или}\quad t=-2. \]

Но \(\cos x\) не может быть больше \(1\) или меньше \(-1\). Поэтому:

\[ \frac32\notin[-1;1],\qquad -2\notin[-1;1]. \]

Значит, корней нет.

Ответ:

\[ \boxed{\text{решений нет}} \]

На окружности:

                 y
                 ↑
                 │
           ╭─────┼─────╮
          ╱      │      ╲
    ─────╱───────┼───────╲────→ x
         ╲       │       ╱
          ╲      │      ╱
           ╰─────┼─────╯
                 │
                 ↓

            точек нет

---

Итоговый ответ

\[ \begin{aligned} 1)&\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,\\ 2)&\quad x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k \quad\left(\text{или }x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right),\\ 3)&\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\\ 4)&\quad \text{решений нет}. \end{aligned} \]

\[ k\in\mathbb Z. \]

На окружности для всех пунктов отметки:

\[ \begin{array}{c|c} \text{Пункт} & \text{Углы}\\ \hline 1 & \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\\[2mm] 2 & \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}\\[2mm] 3 & \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}\\[2mm] 4 & \text{точек нет} \end{array} \]

Вот именно окружность. В прошлом ответе был только схематичный набор точек, а не замкнутый контур. Ниже — единичная окружность для каждого пункта.

Обозначения:
● — нужные корни, + — центр, ╭──╮ — окружность.

---

1) \(\sin^2x=\frac14\)

\[ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k \]

             ╭───────│───────╮
           ╱         │         ╲
     5π/6 ●          │          ● π/6
         ╱           │           ╲
        ╱            │            ╲
────────╱────────────+────────────╲────────→ x
        ╲            │            ╱
         ╲           │           ╱
     7π/6 ●          │          ● 11π/6
           ╲         │         ╱
             ╰───────│───────╯

---

2) \(\cos^2x=\frac12\)

\[ x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k \]

             ╭───────│───────╮
           ╱         │         ╲
     3π/4 ●          │          ● π/4
         ╱           │           ╲
        ╱            │            ╲
────────╱────────────+────────────╲────────→ x
        ╲            │            ╱
         ╲           │           ╱
     5π/4 ●          │          ● 7π/4
           ╲         │         ╱
             ╰───────│───────╯

---

3) \(2\sin^2x+\sin x-1=0\)

\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \]

             ╭───────│───────╮
           ╱         │         ╲
     5π/6 ●          │          ● π/6
         ╱           │           ╲
        ╱            │            ╲
────────╱────────────+────────────╲────────→ x
        ╲            │            ╱
         ╲           │           ╱
           ╲         │         ╱
             ╰───────●───────╯
                 3π/2 = -π/2

---

4) \(2\cos^2x+\cos x-6=0\)

Решений нет, поэтому на окружности ни одной точки:

             ╭───────│───────╮
           ╱         │         ╲
         ╱           │           ╲
        ╱            │            ╲
────────╱────────────+────────────╲────────→ x
        ╲            │            ╱
         ╲           │           ╱
           ╲         │         ╱
             ╰───────│───────╯

                 ● нет

---

Если нужно точно построить по координатам

Точка на единичной окружности с углом \(\alpha\) имеет координаты
\[ (\cos\alpha;\ \sin\alpha). \]

Пункт	Точки на окружности
1	\(\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right)\), \(\left(\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right)\)
2	\(\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right)\), \(\left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right)\)
3	\(\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\), \((0;-1)\)
4	точек нет