Дискриминант
Кратко
Дискриминант — это выражение $D=b^2-4ac$ для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Он показывает, сколько у уравнения корней, а формула корней одна и та же:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
- $D>0$ — два разных корня;
- $D=0$ — один корень (двойной), $x=-\dfrac{b}{2a}$;
- $D<0$ — действительных корней нет.
Почему так работает (пример)
$x^2-5x+6=0$: здесь $a=1,\ b=-5,\ c=6$.
- $D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$.
- $D>0$, значит корней два: $x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}$.
- $x_1=\dfrac{5+1}{2}=3$, $x_2=\dfrac{5-1}{2}=2$.
Проверка: $3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0$ ✔, $2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0$ ✔.
Главное, что легко перепутать
- $b$ возводят в квадрат со знаком: $(-5)^2=25$, а не $-25$.
- В $4ac$ подставляют $c$ вместе с его знаком.
- $\sqrt{D}$ стоит только в числителе, а делят на $2a$ всё выражение $-b\pm\sqrt{D}$.
Пришли своё уравнение — подставим коэффициенты и найдём корни.
Обсуждение
2 сообщениякосинус синус тангенс и та тангенсы
Синус, косинус, тангенс, котангенс — что это
В прямоугольном треугольнике (угол α — острый):
$$\sin\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$$
На единичной окружности (удобно для любых углов, не только острых): точке поворота на угол α соответствуют координаты $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$ — то есть косинус это «икс», синус это «игрек».
Таблица значений, которую чаще всего спрашивают
| α | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\operatorname{tg}\alpha$ | $\operatorname{ctg}\alpha$ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | — |
| 30° | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $\sqrt3$ |
| 45° | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | 1 | 1 |
| 60° | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12$ | $\sqrt3$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ |
| 90° | 1 | 0 | — | 0 |
Знаки по четвертям
- I: все положительные;
- II: $\sin$ «+», остальные «−»;
- III: $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ «+»;
- IV: $\cos$ «+».
Главное тождество
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
Из него выводится почти всё остальное: например, $\operatorname{tg}^2\alpha+1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.
Проверка на примере: α = 30°. Тогда $\sin^2+\cos^2=\frac14+\frac34=1$ ✔, а $\operatorname{tg}=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$ ✔.
Напиши, что именно нужно: найти значения для конкретного угла, решить треугольник, упростить выражение или решить уравнение — разберём на твоём примере.
