Диагональ параллелограмма равна d и делит его угол на углы а и в найдите стороны параллелограмма чертеж дано найти и решение
Краткий ответ
Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(AC=d\), причём
\[ \angle BAC=\alpha,\qquad \angle CAD=\beta . \]
Тогда
\[ \boxed{AB=CD=\frac{d\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}} \]
\[ \boxed{AD=BC=\frac{d\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}} \]
То есть сторона, образующая с диагональю угол \(\alpha\), равна \(\dfrac{d\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\), а сторона, образующая угол \(\beta\), равна \(\dfrac{d\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\).
Если в условии \(\alpha\) и \(\beta\) обозначены наоборот, просто поменяйте их местами.
Чертёж
Схематично:
D────────C
│ ╱
│ ╱
│ ╱
A────────B
В параллелограмме \(ABCD\) проведена диагональ \(AC\).
При вершине \(A\):
\[ \angle BAC=\alpha,\qquad \angle CAD=\beta . \]
Дано
\[ ABCD \text{ — параллелограмм}, \]
\[ AC=d,\qquad \angle BAC=\alpha,\qquad \angle CAD=\beta . \]
Найти
\[ AB,\ BC,\ CD,\ AD. \]
Решение
Рассмотрим треугольник \(ABC\).
В нём:
\[ \angle BAC=\alpha. \]
Так как \(BC\parallel AD\), то угол между \(BC\) и \(AC\) равен углу между \(AD\) и \(AC\):
\[ \angle BCA=\beta. \]
Значит, третий угол треугольника \(ABC\):
\[ \angle ABC=180^\circ-\alpha-\beta. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{AB}{\sin\angle BCA} = \frac{BC}{\sin\angle BAC} = \frac{AC}{\sin\angle ABC}. \]
Подставляем:
\[ \frac{AB}{\sin\beta} = \frac{BC}{\sin\alpha} = \frac{d}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}. \]
Но
\[ \sin(180^\circ-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta). \]
Поэтому:
\[ \frac{AB}{\sin\beta} = \frac{d}{\sin(\alpha+\beta)}, \]
откуда
\[ AB=\frac{d\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}. \]
Аналогично:
\[ \frac{BC}{\sin\alpha} = \frac{d}{\sin(\alpha+\beta)}, \]
значит,
\[ BC=\frac{d\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}. \]
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому:
\[ \boxed{CD=AB=\frac{d\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}} \]
\[ \boxed{AD=BC=\frac{d\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}} \]
Ключевая идея
Диагональ разбивает параллелограмм на треугольник. В этом треугольнике известны:
- сторона \(AC=d\);
- два угла \(\alpha\) и \(\beta\);
- третий угол \(180^\circ-\alpha-\beta\).
Дальше нужные стороны находятся по теореме синусов. В похожих задачах почти всегда достаточно:
- перенести угол с помощью параллельных сторон;
- найти третий угол треугольника;
- применить теорему синусов.
Проверка для частного случая
Если \(\alpha=\beta\), то параллелограмм является ромбом, и
\[ AB=AD=\frac{d\sin\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{d}{2\cos\alpha}. \]
Это известное соотношение для ромба: диагональ, делящая угол пополам, связана со стороной именно так.
Обсуждение
2 сообщенияЗадание 3 вариант б1
Задание 3, вариант Б1
Условие: из точки \(A\), лежащей на окружности, проведены хорды
\[
AB=8\text{ см},\qquad AC=4\sqrt3\text{ см}.
\]
Расстояние между серединами этих хорд равно \(2\) см. Найдите углы треугольника \(ABC\) и радиус окружности.
Дано
\[ AB=8,\qquad AC=4\sqrt3, \] \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(AC\),
\[ MN=2. \]
Найти
\[ \angle A,\ \angle B,\ \angle C,\ R. \]
Решение
Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), отрезок \(MN\) является средней линией треугольника.
Значит,
\[ MN=\frac{BC}{2}. \]
Поэтому
\[ BC=2MN=2\cdot 2=4\text{ см}. \]
Теперь в треугольнике \(ABC\) известны все три стороны:
\[ AB=8,\qquad AC=4\sqrt3,\qquad BC=4. \]
Найдём углы по теореме косинусов.
Угол \(A\):
\[ \cos A= \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} \]
\[ \cos A= \frac{8^2+(4\sqrt3)^2-4^2}{2\cdot 8\cdot 4\sqrt3} = \frac{64+48-16}{64\sqrt3} = \frac{96}{64\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{2}. \]
Значит,
\[ \angle A=30^\circ. \]
Угол \(B\):
\[ \cos B= \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} \]
\[ \cos B= \frac{64+16-48}{2\cdot 8\cdot 4} = \frac{32}{64} = \frac12. \]
Следовательно,
\[ \angle B=60^\circ. \]
Тогда
\[ \angle C=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ. \]
То есть треугольник \(ABC\) — прямоугольный, и его гипотенуза \(AB\).
Если вписанный угол \(C\) прямой, то противолежащая ему сторона \(AB\) является диаметром окружности. Поэтому
\[ R=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}. \]
Ответ
\[ \boxed{\angle A=30^\circ,\qquad \angle B=60^\circ,\qquad \angle C=90^\circ} \]
\[ \boxed{R=4\text{ см}} \]
Кратко: расстояние между серединами хорд — это средняя линия треугольника, поэтому \(BC=4\) см; дальше по теореме косинусов получаем углы \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\), а радиус равен половине гипотенузы \(AB\).
