Реши задание на изображении
На фото не одна вычислительная задача, а 9 вопросов к зачёту по алгебре. Ниже — краткие ответы, по которым можно отвечать и понимать тему.
Функция. Область определения и область значений.
Функция — правило, по которому каждому \(x\) из допустимого множества соответствует единственное \(y\).
\(D(f)\) — область определения: все допустимые \(x\).
\(E(f)\) — область значений: все получающиеся \(y\).
Пример: для \(y=x^2\): \(D(f)=\mathbb{R}\), \(E(f)=[0;+\infty)\).Свойства функции.
Обычно называют: нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значение, чётность/нечётность, область определения и область значений.
Например, \(y=x^2\): чётная, убывает при \(x\le 0\), возрастает при \(x\ge 0\), минимум \(0\).Квадратный трёхчлен и его корни.
Это выражение \(ax^2+bx+c\), где \(a\ne 0\).
Корни — решения уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
Дискриминант: \[ D=b^2-4ac. \] Если \(D>0\) — два корня, если \(D=0\) — один, если \(D<0\) — действительных корней нет.
Формула корней: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]Разложение квадратного трёхчлена на множители.
Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни, то \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \] При \(D=0\): \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).
При \(D<0\) на множители с действительными коэффициентами не раскладывается.
Пример: \(2x^2-5x+2=(x-2)(2x-1)\).Функция \(y=ax^2\), её график и свойства.
График — парабола с вершиной в точке \((0;0)\), ось симметрии \(x=0\).
Если \(a>0\), ветви вверх, \(E(f)=[0;+\infty)\), минимум \(0\).
Если \(a<0\), ветви вниз, \(E(f)=(-\infty;0]\), максимум \(0\).
Функция чётная. Чем больше \(|a|\), тем уже парабола.Графики \(y=ax^2+n\) и \(y=a(x-m)^2\).
\(y=ax^2+n\) — парабола \(y=ax^2\), сдвинутая по вертикали на \(n\), вершина \((0;n)\).
\(y=a(x-m)^2\) — та же парабола, сдвинутая по горизонтали на \(m\), вершина \((m;0)\).
Общий вид: \(y=a(x-m)^2+n\), вершина \((m;n)\).Построение графика квадратичной функции.
Для \(y=ax^2+bx+c\):
\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \] Точка \((x_0;y_0)\) — вершина, прямая \(x=x_0\) — ось симметрии. Затем находят точки пересечения с осями: при \(x=0\) будет \(y=c\), а для оси \(Ox\) решают \(ax^2+bx+c=0\). После этого берут 1–2 симметричные точки и строят параболу.Решение неравенств с одной переменной.
Решение — множество значений \(x\), при которых неравенство верно.
Можно переносить слагаемые из одной части в другую и умножать/делить обе части на число.
Важно: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.Решение неравенств методом интервалов.
Например, \((x-1)(x+2)<0\).
Находим нули: \(x=1\), \(x=-2\). Отмечаем их на числовой прямой, определяем знак выражения на промежутках и выбираем нужные.
Получаем: \[ x\in(-2;1). \] Если неравенство нестрогое \((\le,\ge)\), подходящие концы включают; если строгое \((<,>)\), не включают. Нули знаменателя в дробных неравенствах никогда не включаются.
Проверка: для разложения можно раскрыть скобки, для графика — проверить вершину и симметрию, для неравенства — подставить число из выбранного промежутка.
