Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как решать
Уравнение приведённое: \(x^2-5x+6=0\).
Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(5\) (с учётом знаков — коэффициент при \(x\) равен \(-5\)).
Подходят числа \(2\) и \(3\), поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \]
то есть
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка
Для \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]
Для \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Принцип: для уравнения \(x^2+bx+c=0\) удобно разложить левую часть на множители: найти два числа с произведением \(c\) и суммой \(-b\). Если это трудно, можно использовать дискриминант \(D=b^2-4c\).
Обсуждение
6 сообщенийА почему ищем Два числа которые дают в произведении 6
Потому что это следует из самого разложения на множители. Давай выведем это «правило», а не просто запомним.
Раскрываем скобки в общем виде
Пусть у уравнения есть корни \(x_1\) и \(x_2\). Тогда его можно записать так:
\[ (x-x_1)(x-x_2)=0. \]
Раскроем скобки:
\[ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2 =x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2. \]
Сравниваем с нашим уравнением
Наше уравнение:
\[ x^2-5x+6. \]
Сопоставляем коэффициенты:
\[ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 \;=\; x^2-5x+6. \]
Отсюда два условия:
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6. \]
Вот и ответ на вопрос: произведение корней равно свободному члену, потому что при раскрытии скобок слагаемое без \(x\) получается только одним способом — умножением двух постоянных частей: \((-x_1)\cdot(-x_2)=x_1x_2\).
А сумма корней равна \(5\), потому что коэффициент при \(x\) равен \(-(x_1+x_2)\), то есть \(-(5)=-5\).
Это и есть теорема Виета.
Почему это удобно
Если такие числа нашлись, то разложение верное при всех \(x\) — это тождество, а не подбор «наугад». Проверяем \(2\) и \(3\):
\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]
Значит,
\[ (x-2)(x-3)=x^2-5x+6, \]
и корни действительно \(2\) и \(3\).
Важные оговорки
- Приём работает, когда коэффициент при \(x^2\) равен \(1\). Если, например, \(2x^2-5x+2=0\), сначала делят на \(2\) (или учитывают, что \(x_1x_2=\frac{c}{a}\), \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)).
- Целые числа подбираются не всегда: у \(x^2-3x-1=0\) корни иррациональные, тогда нужен дискриминант \(D=b^2-4ac\).
5 и 6 откуда получили
Числа 5 и 6 не вычисляли — они уже стоят в исходном уравнении:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Запишем уравнение в общем виде:
\[ x^2+bx+c=0. \]
Сравниваем:
\[ x^2\underbrace{-5}_{b}x+\underbrace{6}_{c}=0. \]
Значит,
\[ b=-5,\qquad c=6. \]
По теореме Виета для уравнения \(x^2+bx+c=0\):
\[ x_1+x_2=-b, \] \[ x_1\cdot x_2=c. \]
Подставляем наши \(b\) и \(c\):
\[ x_1+x_2=-(-5)=5, \] \[ x_1\cdot x_2=6. \]
Поэтому и ищем два числа, у которых сумма 5, а произведение 6. Это \(2\) и \(3\):
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6. \]
То есть:
- 6 — это свободный член уравнения;
- 5 — это число из коэффициента \(-5x\), но в сумму корней оно входит со знаком «плюс», потому что \(x_1+x_2=-b\).
А ой
Понял, бывает 🙂 Уточни, что именно не сходится: где в уравнении \(x^2-5x+6=0\) берутся 5 и 6 — или почему из \(2+3=5\) и \(2\cdot3=6\) следует разложение \((x-2)(x-3)\)?
