Решить
На фото два варианта. Ниже — краткие ответы и объяснение; выберите свой вариант.
I вариант
Кратко:
- \(72^\circ\); 2) \(20^\circ,20^\circ,160^\circ,160^\circ\); 3) \(5\) см и \(10\) см; 4) \(48^\circ,48^\circ,132^\circ,132^\circ\); 5) \(8\) см.
Почему так:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA=OB\).
Значит, в треугольнике \(AOB\): \[ \angle OAB=\angle ABO=36^\circ, \] \[ \angle AOB=180^\circ-2\cdot36^\circ=108^\circ. \] Углы \(AOB\) и \(AOD\) смежные, поэтому \[ \angle AOD=180^\circ-108^\circ=72^\circ. \]В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне дают в сумме \(180^\circ\).
Если один угол \(20^\circ\), то соседний: \[ 180^\circ-20^\circ=160^\circ. \] Ответ: \(20^\circ,20^\circ,160^\circ,160^\circ\).Пусть стороны параллелограмма \(x\) и \(2x\). Тогда \[ 2(x+2x)=30,\qquad 6x=30,\qquad x=5. \] Стороны: \(5\) см и \(10\) см.
Углы при большем основании равны, их сумма \(96^\circ\), значит каждый: \[ 96^\circ:2=48^\circ. \] Другие два угла: \[ 180^\circ-48^\circ=132^\circ. \]
\(BM\perp AD\), значит треугольник \(ABM\) прямоугольный.
\(\angle ABM=30^\circ\), поэтому \(\angle BAM=60^\circ\), а катет \(AM\), лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[ AB=2AM=8\text{ см}. \] Так как \(M\) лежит на \(AD\), угол \(BAD=60^\circ\). В ромбе \(AB=AD=8\), и треугольник \(ABD\) с углом \(60^\circ\) между равными сторонами равносторонний. Значит, \[ BD=8\text{ см}. \]
II вариант
Кратко:
- \(32^\circ\); 2) \(75^\circ,75^\circ,105^\circ,105^\circ\); 3) \(5\) см и \(15\) см; 4) \(90^\circ,90^\circ,66^\circ,114^\circ\); 5) \(3\) см.
Почему так:
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому \(OM=ON\).
В равнобедренном треугольнике \(MON\): \[ \angle OMN=\frac{180^\circ-64^\circ}{2}=58^\circ. \] Угол прямоугольника при вершине \(M\) равен \(90^\circ\), поэтому \[ \angle OMP=90^\circ-58^\circ=32^\circ. \]Пусть меньший угол \(x\), тогда другой на \(30^\circ\) больше: \(x+30^\circ\). Это соседние углы при боковой стороне, поэтому \[ x+(x+30^\circ)=180^\circ, \] \[ 2x=150^\circ,\qquad x=75^\circ. \] Углы: \(75^\circ\) и \(105^\circ\).
Пусть стороны \(x\) и \(3x\). Тогда \[ 2(x+3x)=40,\qquad 8x=40,\qquad x=5. \] Стороны: \(5\) см и \(15\) см.
В прямоугольной трапеции два угла по \(90^\circ\). Два других угла при второй боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\), а их разность \(48^\circ\).
Пусть это \(x\) и \(y\), \(x<y\): \[ x+y=180^\circ,\qquad y-x=48^\circ. \] Отсюда \(y=114^\circ\), \(x=66^\circ\).
Углы: \(90^\circ,90^\circ,66^\circ,114^\circ\).В прямоугольном треугольнике \(ABM\): \[ \angle ABM=30^\circ,\qquad \angle BAM=60^\circ. \] Так как \(M\) лежит на продолжении \(AD\), угол ромба \[ \angle DAB=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \] Тогда соседний угол ромба: \[ \angle ABC=60^\circ. \] В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB=BC\), а угол между ними \(60^\circ\), значит треугольник равносторонний: \[ AB=AC=6\text{ см}. \] В прямоугольном треугольнике \(ABM\) катет \(AM\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \[ AM=\frac{AB}{2}=3\text{ см}. \]
