Номер 37

Краткий ответ:

а) \(\dfrac{b+2}{7}\); б) \(\dfrac{4}{b-d}\); в) \(\dfrac{y-1}{x+y}\); г) \(\dfrac{a+c}{a-x}\).

Принцип сокращения алгебраической дроби:

1. Разложи числитель и знаменатель на множители: вынеси общий множитель, сгруппируй слагаемые, используй формулы сокращённого умножения.
2. Найди одинаковые множители в числителе и знаменателе и сократи их.
3. Помни: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Знаменатель не должен быть равен нулю.

По шагам:

а) \(\dfrac{2x+bx-2y-by}{7x-7y}\).
Числитель группируем:
\(2x+bx-2y-by=(2x-2y)+(bx-by)=2(x-y)+b(x-y)=(x-y)(2+b)\).
Знаменатель: \(7x-7y=7(x-y)\).
Сокращаем \(x-y\):
\[ \frac{(x-y)(2+b)}{7(x-y)}=\frac{b+2}{7}. \]

б) \(\dfrac{8a+4b}{2ab+b^2-2ad-bd}\).
Числитель: \(8a+4b=4(2a+b)\).
Знаменатель группируем:
\(2ab+b^2-2ad-bd=b(2a+b)-d(2a+b)=(2a+b)(b-d)\).
Сокращаем \(2a+b\):
\[ \frac{4(2a+b)}{(2a+b)(b-d)}=\frac{4}{b-d}. \]

в) \(\dfrac{xy-x+y-y^2}{x^2-y^2}\).
Числитель:
\(xy-x+y-y^2=x(y-1)+y(1-y)=x(y-1)-y(y-1)=(y-1)(x-y)\).
Знаменатель: \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\).
Сокращаем \(x-y\):
\[ \frac{(y-1)(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{y-1}{x+y}. \]

г) \(\dfrac{a^2+2ac+c^2}{a^2+ac-ax-cx}\).
Числитель: \(a^2+2ac+c^2=(a+c)^2\).
Знаменатель: \(a^2+ac-ax-cx=a(a+c)-x(a+c)=(a+c)(a-x)\).
Сокращаем \(a+c\):
\[ \frac{(a+c)^2}{(a+c)(a-x)}=\frac{a+c}{a-x}. \]

Проверка: ответы можно проверить подстановкой удобных чисел, например в а) при \(x=2,\ y=1,\ b=3\): исходная дробь равна \(\frac{5}{7}\), и \(\frac{b+2}{7}=\frac{5}{7}\).