Y=x²-4 постройте график функции
Краткий ответ: график функции \(y=x^2-4\) — парабола с вершиной в точке \((0;-4)\), ветви направлены вверх. Она пересекает ось \(Ox\) в точках \((-2;0)\) и \((2;0)\), а ось \(Oy\) — в точке \((0;-4)\).
Как построить:
Сравним с графиком \(y=x^2\).
Функция \(y=x^2-4\) получается из него сдвигом вниз на 4 единицы.Найдём вершину: при \(x=0\) \[ y=0^2-4=-4 \] значит, вершина — \((0;-4)\).
Возьмём несколько симметричных значений \(x\):
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 & 5 \end{array} \]
- Отметим точки на координатной плоскости: \[ (-3;5),\ (-2;0),\ (-1;-3),\ (0;-4),\ (1;-3),\ (2;0),\ (3;5) \] и соединим их плавной симметричной линией.
Проверка: например, для \(x=2\): \[ y=2^2-4=4-4=0 \] получаем точку \((2;0)\) — всё верно. Ветви параболы идут вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) равен \(1>0\). Область значений: \(y\ge -4\).
Обсуждение
6 сообщенийОстальные задачи нужно делать также ?
Да, если остальные функции такого же типа — например, \(y=x^2+3\), \(y=x^2-1\), — принцип тот же:
- Берём базовую параболу \(y=x^2\).
- Сдвигаем её по оси \(Oy\):
- \(y=x^2+q\) — вверх при \(q>0\), вниз при \(q<0\);
- вершина будет в точке \((0;q)\).
- Строим таблицу симметричных точек и соединяем их плавной линией.
Но если в остальных заданиях будут функции вида \(y=(x-m)^2\) или \(y=ax^2\), там уже другой сдвиг или растяжение. Пришли следующее задание — подскажу, действовать ли точно так же.
А если там y=1x²+3 2
Если функция такая: \[ y=\frac{1}{2}x^2+3 \] то действовать точно так же можно, но с одной поправкой: парабола станет шире.
Что меняется:
Вершина: при \(x=0\) \[ y=\frac{1}{2}\cdot 0+3=3 \Rightarrow (0;3) \] Сдвиг вверх на 3, как и раньше.
Коэффициент \(a=\frac12\) меньше \(1\), поэтому ветви параболы идут вверх, но более полого, чем у \(y=x^2\): парабола как бы растянута в стороны.
Таблица точек (бери \(x\) покрупнее, раз парабола широкая):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y & 11 & 5 & 3 & 5 & 11 \end{array} \]
Например: \[ y(2)=\frac12\cdot 4+3=2+3=5 \]
- Отмечаешь точки \((-4;11),\ (-2;5),\ (0;3),\ (2;5),\ (4;11)\) и соединяешь плавной линией.
Сравнение с предыдущей: у \(y=x^2-4\) был только сдвиг вниз, форма не менялась. Здесь сдвиг плюс изменение «ширины» — поэтому таблицу удобнее брать с \(x=\pm2,\ \pm4\), а не \(\pm1\).
Уточни: двойка делит только \(x^2\) (как выше) или всё выражение? Если \(y=\dfrac{x^2+3}{2}=0{,}5x^2+1{,}5\), то вершина будет \((0;1{,}5)\), а таблица: \(x=\pm2 \Rightarrow y=3{,}5\).
Таблицу как сделать
Как заполнять таблицу для \(y=\dfrac12 x^2+3\)
Таблица — это просто список точек. Слева пишешь выбранный \(x\), под ним считаешь \(y\).
Шаг 1. Выбери \(x\). Вершина лежит на оси \(Oy\) (при \(x=0\)), парабола симметрична — поэтому берём \(x\) парами: \(0,\ \pm1,\ \pm2,\dots\)
Шаг 2. Подставь каждый \(x\) в формулу и посчитай:
- \(x=0:\quad y=\frac12\cdot 0^2+3=0+3=3\)
- \(x=2:\quad y=\frac12\cdot 4+3=2+3=5\)
- \(x=4:\quad y=\frac12\cdot 16+3=8+3=11\)
- \(x=6:\quad y=\frac12\cdot 36+3=18+3=21\)
Шаг 3. Запиши в таблицу:
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y & 11 & 5 & 3 & 5 & 11 \end{array} \]
Почему именно чётные \(x\)? Потому что \(\frac12\cdot(\text{чётное})^2\) — целое число, и точки удобно отмечать. Если взять \(x=\pm1\), получится \(y=3{,}5\) — тоже можно, но ставить точку на графике неудобнее:
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 5 & 3{,}5 & 3 & 3{,}5 & 5 \end{array} \]
Совет для ровного графика: возьми 7 точек — \(x=-6,-4,-2,0,2,4,6\). Тогда \(y=21,\ 11,\ 5,\ 3,\ 5,\ 11,\ 21\). Отметь их, соедини плавной линией от руки — и всё.
Если в задании требуют именно таблицу в тетради, оформляй её как в первом варианте: одна строка \(x\), под ней строка \(y\).
