Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0
\]
имеет два корня:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Как понять принцип решения
Попробуем разложить квадратный трёхчлен на множители. Нужны два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(5\).
Это числа \(2\) и \(3\), поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка по теореме Виета:
Для уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас:
\[
2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6.
\]
Всё сходится.
Через дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}. \] Значит, \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Ответ: \(x=2\) и \(x=3\).
Обсуждение
4 сообщенияРасми якумашро ба монанди дуюмаш кор карда равон кун
Аз рӯи расми якум муодиларо \(5x^2=6x\) мехонам. Ҳалли он ба монанди намунаи дуюм:
\[ 5x^2=6x \]
Ба тарафи чап мегузаронем:
\[ 5x^2-6x=0 \]
Ин ҷо:
\[ a=5,\quad b=-6,\quad c=0 \]
Дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 5\cdot 0=36 \]
Решаҳо:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{6\pm\sqrt{36}}{2\cdot 5} =\frac{6\pm 6}{10} \]
Аз ин:
\[ x_1=\frac{6+6}{10}=\frac{12}{10}=\frac65=1{,}2 \]
\[ x_2=\frac{6-6}{10}=0 \]
Тарзи кӯтоҳи ҳал:
\[ 5x^2-6x=x(5x-6)=0 \]
Пас:
\[ x=0 \quad \text{ё} \quad 5x-6=0 \]
\[ x=\frac65 \]
Санҷиш:
Агар \(x=0\): \(5\cdot 0^2=6\cdot 0\), дуруст.
Агар \(x=\frac65\): ҳар ду тараф ба \(\frac{36}{5}\) баробар мешаванд.
Ҷавоб:
\[
\boxed{x_1=0,\qquad x_2=\frac65=1{,}2}
\]
Барои график: \(y=5x^2-6x\) параболаи шохаҳояш боло аст; меҳвари \(Ox\)-ро дар нуқтаҳои \((0;0)\) ва \((1{,}2;0)\) мебурад. Қуллаи парабола: \(x=0{,}6,\ y=-1{,}8\).
Расми якумашро ба монанди дуюмаш кор карда равон кун
Расми якумро ба тарзи расми дуюм — яъне тавассути дискриминант — ҳал мекунам.
\[ x^2-5x+6=0 \]
Ин ҷо:
\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]
Дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6 \]
\[ D=25-24=1 \]
Азбаски \(D>0\), муодила ду решаи воқеӣ дорад:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm\sqrt1}{2} =\frac{5\pm1}{2} \]
Пас:
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2 \]
\[ x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Ҷавоб:
\[ \boxed{x_1=2,\qquad x_2=3} \]
Санҷиш бо теоремаи Виет:
\[
2+3=5,\qquad 2\cdot3=6
\]
дуруст аст.
Агар ба расми дуюм монанд график лозим бошад:
барои \(y=x^2-5x+6\):
- шохаҳо ба боло;
- нуқтаҳои буриш бо меҳвари \(Ox\): \((2;0)\) ва \((3;0)\);
- буриш бо \(Oy\): \((0;6)\);
- қуллаи парабола: \[ x=\frac{5}{2}=2{,}5,\qquad y=-\frac14=-0{,}25 \]
Агар масоҳати байни парабола ва меҳвари \(Ox\) аз \(x=2\) то \(x=3\) лозим бошад:
\[ S=\left|\int_2^3 (x^2-5x+6)\,dx\right| =\left|-\frac16\right| =\boxed{\frac16} \]
Яъне масҳати байни онҳо \(\frac16\) воҳиди квадратӣ аст.
