реши

Для № 22 (стороны \(a,b,c\) лежат против углов \(\alpha,\beta,\gamma\)):

Краткий ответ:

1. \(\alpha\approx35{,}4^\circ,\ \gamma\approx134{,}6^\circ,\ c\approx12{,}29\) см.
2. \(\alpha\approx144{,}6^\circ,\ \gamma\approx25{,}4^\circ,\ c\approx7{,}40\) см.

Как решать

По теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta} \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b} =\frac{10\sin10^\circ}{3}\approx0{,}578827. \]

У этого уравнения на промежутке \(0^\circ<\alpha<180^\circ\) два решения: \[ \alpha_1\approx35{,}37^\circ,\qquad \alpha_2=180^\circ-35{,}37^\circ\approx144{,}63^\circ. \] Первое соответствует острому углу \(\alpha\), второе — тупому. Именно поэтому в задаче два пункта: по двум сторонам и углу не между ними возможны два разных треугольника.

Дальше: \[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta. \]

1. \(\alpha\approx35{,}37^\circ\): \[ \gamma\approx180^\circ-35{,}37^\circ-10^\circ=134{,}63^\circ, \] \[ c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta} =\frac{3\sin134{,}63^\circ}{\sin10^\circ} \approx12{,}29\text{ см}. \]

2. \(\alpha\approx144{,}63^\circ\): \[ \gamma\approx180^\circ-144{,}63^\circ-10^\circ=25{,}37^\circ, \] \[ c=\frac{3\sin25{,}37^\circ}{\sin10^\circ} \approx7{,}40\text{ см}. \]

Проверка: в обоих случаях сумма углов равна \(180^\circ\), а отношения сторон к синусам противолежащих углов одинаковы: \[ \frac{10}{\sin\alpha} =\frac{3}{\sin10^\circ} =\frac{c}{\sin\gamma}. \]