Можешь мне посоветовать подготовить к контрольной, потому что в понедельник у нас будет контрольная работа. Вот контрольная работа, первый контрольная работа за десятый класс. Вот хочу сейчас тебе назвать темы, которые мы прошли. Но это в основном были повторения. Какие могут быть, короче, вопросы, задания в первом контрольной работе в десятом классе. Ты можешь мне это дать, пожалуйста? Ну, темы. Давай наживу. Квадратная функция, прогрессия, косинус, синус, тангенс и катангенс — темы. Также тригонометрическая функция и их графики, функция и их графики — тема. Также чётные и нечётные функции, периодичность тригонометрической функции. Также возрастание и убывание функции, экстремумы. Вот такие темы мы прошли.
Краткий ответ
В первой контрольной за 10 класс обычно 6–8 заданий, и почти все они — «базовые навыки по списку тем». Скорее всего, будет так:
- квадратичная функция: вершина, ось симметрии, наибольшее/наименьшее значение, промежутки возрастания/убывания;
- арифметическая и геометрическая прогрессии: формула n-го члена и суммы;
- тригонометрия: табличные значения, знаки по четвертям, основное тождество, формулы приведения;
- тригонометрические функции и их графики: период, растяжение/сдвиг;
- чётность/нечётность и периодичность;
- монотонность и экстремумы — чаще всего по графику.
Ниже — что именно тренировать и как проверять себя.
1. Квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$
Что спрашивают: координаты вершины, ось симметрии, промежутки монотонности, наибольшее/наименьшее значение на отрезке, решение неравенства.
Ключ: вершина $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, $y_0=y(x_0)$. При $a>0$ ветви вверх, функция убывает до $x_0$ и возрастает после; $y_0$ — минимум.
Пример: $y=x^2-4x+3$. Тогда $x_0=\frac{4}{2}=2$, $y_0=4-8+3=-1$. Минимум $-1$ при $x=2$, убывает на $(-\infty;2]$, возрастает на $[2;+\infty)$.
Проверка: подставь $x=0$ и $x=4$ — значения должны быть одинаковыми ($3$ и $3$), это признак верной оси симметрии.
2. Прогрессии
Арифметическая: $a_n=a_1+d(n-1)$, $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$. Геометрическая: $b_n=b_1q^{n-1}$, $S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ при $q\ne1$.
Пример: $a_1=3$, $d=4$. Тогда $a_{10}=3+9\cdot4=39$, $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot10=210$.
Проверка: сумма первых двух $=3+7=10$; подставь $n=2$ в формулу суммы — должно совпасть.
3. Синус, косинус, тангенс, котангенс
Обязательно наизусть: значения для $0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$, знаки по четвертям, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, формулы приведения, $\sin2\alpha$, $\cos2\alpha$.
Пример: $\sin\alpha=0{,}6$, угол I четверти. Тогда $\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$ (берём «+», так как I четверть), $\operatorname{tg}\alpha=0{,}75$.
Проверка: $0{,}6^2+0{,}8^2=1$ — верно.
4. Тригонометрические функции и графики
Уметь читать формулу $y=A\sin(kx+\varphi)+B$: амплитуда $|A|$, период $T=\dfrac{2\pi}{|k|}$, сдвиг по вертикали $B$.
Пример: $y=2\sin3x-1$. Амплитуда 2, период $\frac{2\pi}{3}$, значения лежат в $[-3;1]$.
Проверка: максимум $2-1=1$, минимум $-2-1=-3$ — сходится.
5. Чётность и периодичность
Правило: подставь $-x$ вместо $x$. Если $f(-x)=f(x)$ — чётная, если $f(-x)=-f(x)$ — нечётная, иначе никакая. Область определения должна быть симметричной.
Пример: $f(x)=x\cos x$: $f(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-f(x)$ — нечётная.
Периоды: у $\sin$ и $\cos$ — $2\pi$, у $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ — $\pi$.
6. Возрастание, убывание, экстремумы
По графику: идём слева направо — график вверх → возрастает, вниз → убывает; «горка» — максимум, «ямка» — минимум. В ответ промежутки записывают по $x$. Если вы уже прошли производную — то же самое через знак $f'(x)$.
План подготовки (3 дня по 40–50 минут)
- День 1. Выписать на один лист все формулы (вершина, прогрессии, тождества, период). Решить по 3 задачи на квадратичную функцию и прогрессии.
- День 2. Тригонометрия: 10 значений таблицы на скорость, 5 задач «дано $\sin$ — найди $\cos$ и $\operatorname{tg}$», 3 задания на графики.
- День 3. Чётность, периодичность, монотонность + один пробный вариант целиком на время (35–40 минут), потом разбор ошибок.
Правило проверки на самой работе: подставляй ответ обратно, следи за четвертью (знак!), за ОДЗ у тангенса и за тем, что в ответе на монотонность — промежутки по $x$, а не по $y$.
