Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3 \]

Проверка:

• \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\)
• \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\)

Как это получается

Способ 1. Через дискриминант

Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\):

\[ D=b^2-4ac \]

Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):

\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2} \]

Значит:

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. Через теорему Виета

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\):

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q \]

У нас:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6 \]

Подходят числа \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot3=6\).

Почему это работает

Уравнение можно разложить на множители:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Тогда:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]

Отсюда \(x=2\) или \(x=3\).

Главная идея: квадратное уравнение можно решать через дискриминант (универсально) или через Виета и разложение на множители (быстро, когда коэффициенты удобные).