Сделай номер 79

Краткий ответ:

1. \(-5\);
2. \(3\).

1)

\[ \left(2^{\frac53}\cdot 3^{-\frac13}-3^{\frac53}\cdot 2^{-\frac13}\right)\cdot \sqrt[3]{6} \]

Обозначим \(x=\sqrt[3]{2}\), \(y=\sqrt[3]{3}\). Тогда \(\sqrt[3]{6}=xy\), а

\[ 2^{\frac53}=x^5,\quad 3^{-\frac13}=\frac1y,\quad 3^{\frac53}=y^5,\quad 2^{-\frac13}=\frac1x. \]

Получаем:

\[ \left(\frac{x^5}{y}-\frac{y^5}{x}\right)\cdot xy=x^6-y^6. \]

Так как \(x=\sqrt[3]{2}\), \(y=\sqrt[3]{3}\), то

\[ x^6=(\sqrt[3]{2})^6=2^2=4,\qquad y^6=(\sqrt[3]{3})^6=3^2=9. \]

Значит,

\[ 4-9=-5. \]

Ответ: \(-5\).

2)

\[ \left(5^{\frac14}:2^{\frac34}-2^{\frac14}:5^{\frac34}\right)\cdot \sqrt[4]{1000} \]

Обозначим \(x=\sqrt[4]{5}\), \(y=\sqrt[4]{2}\). Тогда

\[ 5^{\frac14}=x,\quad 2^{\frac34}=y^3,\quad 2^{\frac14}=y,\quad 5^{\frac34}=x^3. \]

То есть выражение в скобках:

\[ \frac{x}{y^3}-\frac{y}{x^3}. \]

Далее,

\[ \sqrt[4]{1000}=\sqrt[4]{10^3}=10^{\frac34}= \left(2\cdot5\right)^{\frac34}=2^{\frac34}\cdot5^{\frac34}=y^3x^3. \]

Умножаем:

\[ \left(\frac{x}{y^3}-\frac{y}{x^3}\right)x^3y^3=x^4-y^4. \]

Но

\[ x^4=5,\qquad y^4=2. \]

Поэтому

\[ 5-2=3. \]

Ответ: \(3\).

Правило: \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\), поэтому корни удобно записывать степенями и выносить общий множитель.