Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Как решить:
Уравнение: \[ x^2-5x+6=0 \]
Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\), потому что: \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]
Значит, по теореме Виета корни: \[ x_1=2,\quad x_2=3. \]
Можно разложить на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда: \[ (x-2)(x-3)=0, \] откуда \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Получаем: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
При \(x=2\):
\[
2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0.
\]
При \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Принцип для похожих уравнений:
Если уравнение имеет вид
\[
x^2-Sx+P=0,
\]
то нужно найти два числа, сумма которых равна \(S\), а произведение равно \(P\). Они и будут корнями.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Разберём именно переход:
\[ x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x-2=0 \text{ или } x-3=0. \]
1. Откуда здесь \(x\)
\(x\) — это та же неизвестная, которая была в исходном уравнении. Она ниоткуда не появилась заново: мы просто переписали выражение \(x^2-5x+6\) в виде произведения двух скобок.
Проверим, что это действительно так:
\[ (x-2)(x-3)=x(x-3)-2(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
То есть
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
— это тождество, верное при любом \(x\). Поэтому уравнение можно заменить на
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
2. Почему дальше \(x-2=0\) или \(x-3=0\)
Слева стоит произведение двух множителей:
\[ \underbrace{(x-2)}_{\text{первый множитель}} \cdot \underbrace{(x-3)}_{\text{второй множитель}}=0. \]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Решаем каждое:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
3. Проверка
Если \(x=2\), то первая скобка равна нулю:
\[ (x-2)(x-3)=(2-2)(2-3)=0\cdot(-1)=0. \]
Если \(x=3\), то вторая скобка равна нулю:
\[ (3-2)(3-3)=1\cdot0=0. \]
Поэтому оба числа подходят:
\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=3.} \]
Коротко: \(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. В записи \((x-2)(x-3)=0\) множители содержат \(x\), и мы ищем, при каких значениях \(x\) хотя бы один множитель станет нулём.
