Как делить дроби

Кратко: деление дробей заменяют умножением на обратную дробь:

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}, \qquad b\neq0,\ c\neq0,\ d\neq0. \]

То есть вторую дробь переворачиваем, а знак деления меняем на умножение. Первую дробь не трогаем.

Как действовать

1. Смешанные числа сначала переведи в неправильные дроби.
2. Замени деление умножением на обратную дробь.
3. Сократи всё, что можно сократить до умножения.
4. Перемножь числители и знаменатели.
5. Выдели целую часть и сократи результат, если нужно.

Пример

\[ \frac{3}{4}:\frac{2}{5} = \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}. \]

Проверка:

\[ 1\frac{7}{8}\cdot\frac{2}{5} = \frac{15}{8}\cdot\frac{2}{5} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}. \]

Верно.

Если делим на целое число

Целое число можно записать как дробь со знаменателем \(1\):

\[ 6:\frac{3}{4} = \frac{6}{1}\cdot\frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8. \]

Проверка: \(8\cdot\frac{3}{4}=6\).

Почему правило работает

Пусть

\[ x=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}. \]

Тогда \(x\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\). Если взять

\[ x=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}, \]

то

\[ x\cdot\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a}{b}. \]

Значит, деление на \(\frac{c}{d}\) действительно равно умножению на \(\frac{d}{c}\).

С алгебраическими дробями — так же

\[ \frac{x}{y}:\frac{a}{b} = \frac{x}{y}\cdot\frac{b}{a} = \frac{xb}{ya}, \]

при \(y\neq0,\ a\neq0,\ b\neq0\).

Например:

\[ \frac{x+1}{x}:\frac{x-1}{2} = \frac{x+1}{x}\cdot\frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{x(x-1)}, \]

где \(x\neq0,\ x\neq1\).

Главное: переворачиваем только вторую дробь, следим за нулями в знаменателях и проверяем результат умножением.