Реши задание на изображении

Кратко — ответы

1. Преобразуйте выражение

1. \(x^{-12}\cdot x^3=x^{-9}=\dfrac1{x^9}\)
2. \(a^{-3}\cdot a^8=a^5\)
3. \(t^{-5}\cdot t=t^{-4}=\dfrac1{t^4}\)
4. \(y^4\cdot y^{-4}=y^0=1\)
5. \(m^9:m^5=m^4\)
6. \(n^{-12}:n^{-8}=n^{-4}=\dfrac1{n^4}\)
7. \((s^3)^7=s^{21}\)
8. \((x^{-4})^5=x^{-20}=\dfrac1{x^{20}}\)
9. \((k^{-7})^{-2}=k^{14}\)
10. \((x^6y)^{-4}=x^{-24}y^{-4}=\dfrac1{x^{24}y^4}\)
11. \(\left(\dfrac{a^{-4}}{b^{-3}}\right)^{-3}=\dfrac{a^{12}}{b^9}\)

2. Вычислите

1. \(2^4\cdot2^8=2^{12}=4096\)
2. \((4^{-1})^{-2}=4^2=16\)
3. \(14^{-7}:14^{-8}=14^1=14\)
4. \((a^{-5})^4\cdot a^{22}=a^2\)

3. Упростите

1. \(\dfrac{14a}{b^{-3}}:\dfrac{56a^4}{b^{-2}}=\dfrac{b}{4a^3}\)
2. \(\dfrac{18x^{-6}}{y^5}\cdot\dfrac{7y^{-5}}{6x^{-12}}=\dfrac{21x^6}{y^{10}}\)

4. Вычислите

1. \(\dfrac{(7^{-11})^2}{7^{-23}}=7\)
2. \(3^{-11}\cdot(3^5)^2=\dfrac13\)
3. \(\dfrac{8^{-6}\cdot8^{-7}}{8^{-12}}=\dfrac18\)
4. \((7\cdot10^3)^2\cdot(16\cdot10^{-4})=78\,400\)
5. \(\dfrac{2^{-7}\cdot2^{17}}{2^8}=4\)
6. \(\dfrac{(6^2)^{-9}}{6^{-20}}=36\)
7. \(7^{-6}\cdot(7^2)^4=49\)
8. \(\dfrac{6^{12}\cdot11^{10}}{66^{10}}=36\)

Как решать такие задания

Главные правила:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}, \] \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^n b^n, \] \[ a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a^0=1. \]

Отрицательная степень не делает число отрицательным:
\[ 2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18. \]

Например, в №1.6: \[ n^{-12}:n^{-8}=n^{-12-(-8)}=n^{-4}=\frac1{n^4}. \]

В №3.1 деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{14a}{b^{-3}}:\frac{56a^4}{b^{-2}} = \frac{14a}{b^{-3}}\cdot\frac{b^{-2}}{56a^4} = \frac{b}{4a^3}. \]

В №4.8 полезно разложить \(66=6\cdot11\): \[ \frac{6^{12}\cdot11^{10}}{66^{10}} = \frac{6^{12}\cdot11^{10}}{(6\cdot11)^{10}} = \frac{6^{12}\cdot11^{10}}{6^{10}\cdot11^{10}} =6^2=36. \]

Проверка на простом примере: если в №4.1 сначала возвести в квадрат, получим \(7^{-22}\), затем делим на \(7^{-23}\): \[ 7^{-22}:7^{-23}=7^{-22-(-23)}=7^1=7. \]