Реши задание на изображении

Ответ:

1. Нет.
2. Да.
3. Наибольшее значение:
   \[ R_A-R_B=\frac{132}{7}=18\frac{6}{7}. \]

Почему так

Пусть выбранные числа в порядке возрастания: \[ a_1<a_2<\dots<a_7, \] тогда \(R_B=a_4\), а \[ R_A-R_B=\frac{a_1+\dots+a_7}{7}-a_4 =\frac{(a_1-a_4)+\dots+(a_7-a_4)}{7}. \]

Все выбранные числа нечётные, поэтому каждая разность \(a_i-a_4\) — чётное число. Значит, числитель чётный, и разность всегда имеет вид \[ \frac{\text{чётное число}}{7}. \]

1) Может ли быть \(\frac17\)?

Нет: \(\frac17\) соответствует нечётному числителю.

2) Может ли быть \(\frac27\)?

Да. Например, выберем \[ 17,\ 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 31. \] Тогда \(R_B=23\), а сумма равна \(163\): \[ R_A-R_B=\frac{163}{7}-23=\frac{163-161}{7}=\frac27. \]

3) Наибольшее значение

Пусть медиана \(a_4=m\). Тогда \[ 7(R_A-R_B)=(a_1+a_2+a_3)+(a_5+a_6+a_7)-6m. \] Три верхних числа не больше \(67,65,63\), их сумма не больше \(195\).
Три нижних числа не больше \(m-2,m-4,m-6\), их сумма не больше \(3m-12\). Поэтому \[ 7(R_A-R_B)\le 195+(3m-12)-6m=183-3m. \] Так как ниже \(m\) должны быть три нечётных числа от 11, то \(m\ge17\). Значит, \[ 183-3m\le183-51=132. \] Максимум достигается на наборе \[ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ 63,\ 65,\ 67. \] Тогда \[ R_A-R_B=\frac{132}{7}. \]