Реши задание на изображении
На фото номера 96–100. Ниже решения ко всем; дроби рассматриваются только при допустимых значениях переменных.
Краткие ответы
96.
а) \(\dfrac{1}{y+2}\); б) \(\dfrac{3}{a-6}\);
в) \(\dfrac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}\); г) \(\dfrac{a^2}{b(a-b)^2}\).
97.
а) \(-\dfrac{8}{2a+b}\); б) \(\dfrac{36}{(a^2-9)^2}\);
в) \(\dfrac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\); г) \(\dfrac{1}{a-1}\).
98.
а) \(\dfrac{2}{a-4b}\); б) \(\dfrac{1}{b}\).
99.
а), б) — тождества верны, доказательства ниже.
100.
а) выражение равно \(x^2+4>0\);
б) выражение равно \(-(y^2+1)<0\).
Как это получается
Главный приём: разложить знаменатели на множители, привести к общему знаменателю и аккуратно раскрыть числитель. Если перед дробью стоит минус, весь числитель берём в скобки.
96
а)
\[
\frac{4}{y+2}-\frac{3}{y-2}+\frac{12}{y^2-4}
=
\frac{4(y-2)-3(y+2)+12}{(y-2)(y+2)}
=
\frac{y-2}{(y-2)(y+2)}
=\frac{1}{y+2}.
\]
б)
\[
\frac{a}{a-6}-\frac{3}{a+6}+\frac{a^2}{36-a^2}
=
\frac{a(a+6)-3(a-6)-a^2}{(a-6)(a+6)}
=
\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)}
=\frac{3}{a-6}.
\]
в)
\[
\frac{x^2}{(x-y)^2}-\frac{x+y}{2x-2y}
=
\frac{2x^2-(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2}
=
\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}.
\]
г)
Так как \(b^2-ab=-b(a-b)\), то
\[
\frac{b}{(a-b)^2}-\frac{a+b}{b^2-ab}
=
\frac{b^2+(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2}
=
\frac{a^2}{b(a-b)^2}.
\]
97
а)
\[
\frac{(2a+b)^2-16a^2-(2a-b)^2}{a(2a-b)(2a+b)}
=
-\frac{8}{2a+b}.
\]
б)
\[
\frac{(a+3)^2-2(a-3)(a+3)+(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}
=
\frac{36}{(a^2-9)^2}.
\]
в)
Используем \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\):
\[
\frac{(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}
=
\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}.
\]
г)
\[
\frac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)}
{(a-1)(a^2+a+1)}
=
\frac{1}{a-1}.
\]
98
а)
\[
\frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2}
=
\frac{2}{a-4b}.
\]
б)
\[
\frac{1}{2b-2a}+\frac{1}{2b+2a}+\frac{a^2}{a^2b-b^3}
=
\frac{1}{b}.
\]
99
а)
\[
\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}
=
\frac{a^3+3}{a(a-3)}.
\]
А правая часть:
\[
a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}
=
\frac{a(a+3)(a-3)+9a+3}{a(a-3)}
=
\frac{a^3+3}{a(a-3)}.
\]
Обе части равны.
б)
\[
\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}
=
\frac{a^3-a(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}
=
\]
\[
=
\frac{a^3-a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)}
=
\frac{(a-1)(a^2-4)}{a^2-4}
=a-1.
\]
Тождество доказано.
100
а)
\[
\frac{x^3+3x}{x+2}-\frac{3x^2-14x+16}{x^2-4}+2x
=
\]
\[
=
\frac{(x^3+3x)(x-2)+2x(x^2-4)-(3x^2-14x+16)}{x^2-4}
=
\]
\[
=
\frac{x^4-16}{x^2-4}
=x^2+4>0.
\]
При допустимых \(x\ne\pm2\) выражение положительно.
б)
\[
y+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^3+2y}{y-1}
=
\]
\[
=
\frac{y(y^2-1)+(2y^2+3y+1)-(y^3+2y)(y+1)}{y^2-1}
=
\]
\[
=
\frac{1-y^4}{y^2-1}
=-(y^2+1)<0.
\]
При допустимых \(y\ne\pm1\) выражение отрицательно.
В №100 важно, что рассматриваются только допустимые значения: при \(x=\pm2\) и \(y=\pm1\) исходные знаменатели обращаются в нуль, поэтому сами выражения не определены. После сокращения это ограничение всё равно нужно помнить.
Проверка: при \(x=3\) в №100а получаем \(13>0\), при \(y=2\) в №100б получаем \(-5<0\).
