Номер 166

Через треугольник Паскаля сравнение делается по симметрии строки: число на \(k\)-м месте равно числу на \((n-k)\)-м месте. Если места считать с нуля:

\[ C_n^k=C_n^{n-k} \]

Нужные строки:

\[ n=5:\quad 1,\ 5,\ \boxed{10},\ \boxed{10},\ 5,\ 1 \]

\[ n=7:\quad 1,\ 7,\ \boxed{21},\ 35,\ 35,\ \boxed{21},\ 7,\ 1 \]

\[ n=12:\quad 1,\ 12,\ 66,\ 220,\ 495,\ \boxed{792},\ 924,\ \boxed{792},\ 495,\ 220,\ 66,\ 12,\ 1 \]

Для \(n=21\) строка начинается и заканчивается так:

\[ 1,\ 21,\ \ldots,\ 21,\ 1 \]

Поэтому:

Сравнение	Значения	Результат
\(C_5^2\) и \(C_5^3\)	\(10\) и \(10\)	\(C_5^2=C_5^3\)
\(C_7^2\) и \(C_7^5\)	\(21\) и \(21\)	\(C_7^2=C_7^5\)
\(C_{21}^1\) и \(C_{21}^{20}\)	\(21\) и \(21\)	\(C_{21}^1=C_{21}^{20}\)
\(C_{12}^5\) и \(C_{12}^7\)	\(792\) и \(792\)	\(C_{12}^5=C_{12}^7\)

Ответ: во всех пунктах числа равны: \[ C_5^2=C_5^3,\quad C_7^2=C_7^5,\quad C_{21}^1=C_{21}^{20},\quad C_{12}^5=C_{12}^7. \]

Объясню по шагам.

1. Что показывает треугольник Паскаля

Верхняя строка — \(n=0\), следующая — \(n=1\) и так далее:

\[ \begin{array}{ccccccccc} n=0:&1\\ n=1:&1&1\\ n=2:&1&2&1\\ n=3:&1&3&3&1\\ n=4:&1&4&6&4&1\\ n=5:&1&5&10&10&5&1 \end{array} \]

Каждое внутреннее число получается как сумма двух чисел над ним. Например, в строке \(n=5\):

\[ 10=4+6,\qquad 10=6+4. \]

Числа в строке \(n\) — это сочетания:

\[ C_n^0,\ C_n^1,\ C_n^2,\ldots,C_n^n. \]

То есть в строке \(n=5\):

\[ C_5^0=1,\quad C_5^1=5,\quad C_5^2=10,\quad C_5^3=10,\quad C_5^4=5,\quad C_5^5=1. \]

Нумерация \(k\) здесь начинается с нуля: первое число имеет \(k=0\), второе — \(k=1\).

2. Почему строка симметрична

Треугольник Паскаля симметричен относительно середины:

\[ C_n^k=C_n^{n-k}. \]

Например, в строке \(n=5\):

\[ 1,\ 5,\ \boxed{10},\ \boxed{10},\ 5,\ 1. \]

Второе число слева равно второму справа, третье слева — третьему справа и т. д.

Смысл: выбрать \(k\) предметов из \(n\) — это то же самое, что указать \(n-k\) предметов, которые останутся невыбранными.

3. Применяем к пунктам

а) \(C_5^2\) и \(C_5^3\)

Строка \(n=5\):

\[ 1,\ 5,\ \boxed{10},\ \boxed{10},\ 5,\ 1. \]

\[ C_5^2=10,\qquad C_5^3=10. \]

Значит,

\[ C_5^2=C_5^3. \]

б) \(C_7^2\) и \(C_7^5\)

Строка \(n=7\):

\[ 1,\ 7,\ \boxed{21},\ 35,\ 35,\ \boxed{21},\ 7,\ 1. \]

\[ C_7^2=21,\qquad C_7^5=21. \]

Значит,

\[ C_7^2=C_7^5. \]

в) \(C_{21}^1\) и \(C_{21}^{20}\)

Строка \(n=21\) начинается и заканчивается так:

\[ 1,\ \boxed{21},\ldots,\boxed{21},\ 1. \]

Второе число слева и второе справа равны:

\[ C_{21}^1=21,\qquad C_{21}^{20}=21. \]

Значит,

\[ C_{21}^1=C_{21}^{20}. \]

г) \(C_{12}^5\) и \(C_{12}^7\)

Строка \(n=12\):

\[ 1,\ 12,\ 66,\ 220,\ 495,\ \boxed{792},\ 924,\ \boxed{792},\ 495,\ 220,\ 66,\ 12,\ 1. \]

\[ C_{12}^5=792,\qquad C_{12}^7=792. \]

Значит,

\[ C_{12}^5=C_{12}^7. \]

Итог

Во всех пунктах числа равны:

\[ \boxed{C_5^2=C_5^3,\quad C_7^2=C_7^5,\quad C_{21}^1=C_{21}^{20},\quad C_{12}^5=C_{12}^7.} \]

Общий принцип: в треугольнике Паскаля строка симметрична, поэтому числа, стоящие на одинаковом расстоянии от её концов, равны.

Если ты про треугольник Паскаля, то числа больше \(10\) появляются не сразу. В строке \(n=5\) самое большое число равно \(10\), но \(10\) — это ещё не «выше \(10\)».

Строки:

\[ n=5:\quad 1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1 \]

\[ n=6:\quad 1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1 \]

В строке \(n=6\) впервые появляются числа, которые больше 10:

\[ 15,\ 20,\ 15. \]

Дальше:

\[ n=7:\quad 1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1 \]

\[ n=8:\quad 1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1 \]

Числа получаются сложением двух чисел над ними. Например:

\[ 15=5+10,\qquad 20=10+10. \]

Когда число больше 10?

Это зависит от места в строке. Например:

• \(C_n^1=n\), поэтому \(C_n^1>10\) при \(n>10\);
• \(C_n^2=\dfrac{n(n-1)}2\), и уже при \(n=6\):

\[ C_6^2=\frac{6\cdot5}{2}=15>10; \]

• в середине строки числа растут быстрее всего.

В твоём задании, например:

\[ C_{12}^5=\frac{12!}{5!\,7!} =\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} =792. \]

И

\[ C_{12}^7=792. \]

То есть числа могут быть намного больше \(10\), но симметрия строки всё равно работает:

\[ C_n^k=C_n^{n-k}. \]

Поэтому в задании №166 не обязательно каждый раз считать большие числа: если коэффициенты стоят на одинаковом расстоянии от концов строки, они равны.

Понял: речь о строке треугольника Паскаля, а не о числе «больше 10».

Строка имеет номер \(n\). Если брать строки выше десятой, то это:

\[ n=9,\quad n=8,\quad \ldots,\quad n=0. \]

Например:

\[ n=8:\quad 1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1 \]

\[ n=9:\quad 1,\ 9,\ 36,\ 84,\ 126,\ 126,\ 84,\ 36,\ 9,\ 1 \]

\[ n=10:\quad 1,\ 10,\ 45,\ 120,\ 210,\ 252,\ 210,\ 120,\ 45,\ 10,\ 1 \]

Важно: даже выше строки \(n=10\) есть числа больше 10. Например, в строке \(n=9\) уже стоят \(36,\ 84,\ 126\).

Правило построения не меняется: каждое число равно сумме двух чисел над ним. А число в строке \(n\) на месте \(k\) — это

\[ C_n^k. \]

Поэтому:

\[ C_9^2=36,\qquad C_9^3=84,\qquad C_9^4=126. \]

И симметрия тоже сохраняется:

\[ C_n^k=C_n^{n-k}. \]

Например, в строке \(n=9\):

\[ C_9^2=C_9^7=36,\qquad C_9^3=C_9^6=84. \]

Если же ты имел в виду строки после десятой \((n=11,12,\ldots)\), то они строятся точно так же:

\[ n=11:\quad 1,\ 11,\ 55,\ 165,\ 330,\ 462,\ 462,\ 330,\ 165,\ 55,\ 11,\ 1 \]

\[ n=12:\quad 1,\ 12,\ 66,\ 220,\ 495,\ 792,\ 924,\ 792,\ 495,\ 220,\ 66,\ 12,\ 1 \]

То есть «выше строки 10» — это строки с меньшим номером, а числа больше 10 могут появляться в любой достаточно длинной строке.

В пункте 166 в) сравниваются:

\[ C_{21}^{1}\quad \text{и}\quad C_{21}^{20}. \]

Самый лёгкий способ — по треугольнику Паскаля.

В строке с номером \(n\):

• второе число слева всегда равно \(n\);
• второе число справа тоже равно \(n\), потому что строка симметрична.

То есть строка \(n=21\) начинается и заканчивается так:

\[ 1,\ \boxed{21},\ \ldots,\ \boxed{21},\ 1. \]

Значит:

\[ C_{21}^{1}=21, \]

\[ C_{21}^{20}=21. \]

Поэтому:

\[ \boxed{C_{21}^{1}=C_{21}^{20}=21.} \]

Можно проверить и по формуле:

\[ C_{21}^{1}=\frac{21!}{1!\,20!}=21, \]

\[ C_{21}^{20}=\frac{21!}{20!\,1!}=21. \]

Коротко: всю длинную строку треугольника Паскаля строить не нужно. В строке \(n\) крайние числа — \(1\), а соседние с ними — \(n\). Поэтому в \(21\)-й строке вторые числа с обеих сторон равны \(21\), и они равны между собой.

Если у тебя таблица только до строки \(n=10\), то строить 21-ю строку целиком не нужно.

В пункте в):

\[ C_{21}^{1}\quad \text{и}\quad C_{21}^{20}. \]

Есть два быстрых факта о треугольнике Паскаля:

1. В строке номер \(n\) второе число слева равно \(n\), второе справа тоже равно \(n\):

\[ 1,\ n,\ \ldots,\ n,\ 1. \]

2. Строка симметрична:

\[ C_n^k=C_n^{n-k}. \]

Для \(n=21\):

\[ C_{21}^{1}=21, \]

\[ C_{21}^{20}=21. \]

Поэтому:

\[ \boxed{C_{21}^{1}=C_{21}^{20}=21.} \]

Можно объяснить так: \(1+20=21\), значит числа стоят симметрично относительно середины строки, поэтому они равны.

Итог: таблица до 10-й строки не мешает. Достаточно знать, что в строке \(n\) вторые числа с краёв равны \(n\). Для строки 21 это \(21\) и \(21\).