Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Как это получить (разложение на множители)

Шаг 1. Ищем два числа. Нужны два числа, которые:

• при умножении дают свободный член $6$;
• при сложении дают число, противоположное коэффициенту при $x$, то есть $5$.

Перебираем пары множителей $6$: $1\cdot 6$ (сумма $7$ — не подходит), $2\cdot 3$ (сумма $5$ — подходит!). Значит, это $2$ и $3$.

Шаг 2. Записываем разложение.

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Проверить можно раскрытием скобок: $x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$ — сходится.

Шаг 3. Используем свойство произведения. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$x-2=0 ;\text{ или }; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 ;\text{ или }; x=3$$

Тот же результат даёт группировка: $x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)$.

Проверка

• $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
• $x=3$: $9-15+6=0$ ✔

Принцип, который стоит запомнить: если старший коэффициент равен $1$, ищем два числа с произведением $c$ и суммой $-b$ (то есть $b$ с обратным знаком), и уравнение превращается в $(x-x_1)(x-x_2)=0$. Так решается любое приведённое квадратное уравнение с целыми корнями — и это быстрее, чем подставлять числа наугад.