Объясни пожалуйста дроби

Коротко: дробь — это запись деления.
\[ \frac{a}{b}=a:b,\qquad b\ne 0 \] Число сверху — числитель, снизу — знаменатель. Все действия с дробями удобно понимать через два главных правила: дробь — это деление и числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число.

1. Основное свойство дроби

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c} \]

Например:

\[ \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12} \]

Дробь не изменилась, просто записали её по-другому.

2. Сокращение дробей

Сокращать можно только множители, а не слагаемые. Сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители:

\[ \frac{6x^2}{9x} = \frac{2\cdot3\cdot x\cdot x}{3\cdot3\cdot x} = \frac{2x}{3},\qquad x\ne0 \]

А вот так делать нельзя:

\[ \frac{x+2}{2}\ne x+1 \]

Потому что \(x+2\) — это сумма, а не произведение.

3. Сложение и вычитание

Если знаменатели одинаковые:

\[ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} \]

Если разные — приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{y}{xy}+\frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} \]

Числовой пример:

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{4} = \frac{8}{12}+\frac{3}{12} = \frac{11}{12} \]

4. Умножение и деление

Умножение:

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]

Деление — это умножение на обратную дробь:

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \]

Например:

\[ \frac{2}{3}:\frac{4}{5} = \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

5. Знаки

Минус можно переносить:

\[ \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b} \]

6. Важно: знаменатель не равен нулю

Например, в дроби

\[ \frac{x}{x-1} \]

обязательно \(x\ne1\), иначе знаменатель станет нулём.

Пример для понимания

\[ \frac{x}{x-1}+\frac{1}{1-x} \]

Заметим, что \(1-x=-(x-1)\). Тогда:

\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} = 1,\qquad x\ne1 \]

Проверим подстановкой \(x=2\):

\[ \frac{2}{1}+\frac{1}{-1}=2-1=1 \]

Всё сходится.

Главный принцип: сначала разложи на множители и приведи к общему знаменателю, а потом сокращай.