По этом теме подготовиться надо на соч

Кратко: весь СОЧ держится на одной идее — алгебраическая дробь это деление, поэтому работают те же правила, что с обычными дробями: сокращать можно только множители, а складывать — только после приведения к общему знаменателю. Вторая половина главы (§8–§10) — это одна тема: корень и степень с дробным показателем связаны формулой $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, поэтому всё сводится к счёту показателей.

Что нужно уметь по каждому §

§1. Допустимые значения. Те значения переменной, при которых выражение имеет смысл: знаменатель $\neq 0$, под корнем чётной степени $\geq 0$.
Пример: $\dfrac{x+1}{x-4}$ — допустимы все $x\neq 4$.

§2. Сокращение. Сначала разложить на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения), потом сокращать.
$$\frac{a^2-b^2}{a^2+ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a-b}{a}$$ Главная ошибка — сокращать слагаемые: $\frac{a+b}{a}$ сократить нельзя.

§3. Общий знаменатель. У многочленов берём каждый множитель в наибольшей степени: для $\frac{1}{x-2}$ и $\frac{1}{x+2}$ общий знаменатель $(x-2)(x+2)$.

§4. Сложение/вычитание. Привести к общему знаменателю, числитель записать в скобках, раскрыть и привести подобные.
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}$$ Помни: $a-b=-(b-a)$ — часто нужно поменять знак, чтобы знаменатели совпали.

§5. Умножение/деление. $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, а деление — умножение на обратную дробь: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$.

§6. Многоэтажные дроби. Идём «снизу вверх» или превращаем черту дроби в деление:
$$\frac{\frac1a+\frac1b}{a+b}=\frac{\frac{a+b}{ab}}{a+b}=\frac{1}{ab}$$

§7. Функция $y=\frac{k}{x}$. Область определения $x\neq 0$, график — гипербола из двух ветвей, осей не касается. При $k>0$ ветви в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV. Функция нечётная: $y(-x)=-y(x)$.
Пример: точка $(2;-6)$ лежит на графике, значит $k=2\cdot(-6)=-12$ и ветви во II и IV четвертях.

§8. Корень $n$-й степени. $\sqrt[n]{a}=b$, если $b^n=a$; для чётного $n$ подкоренное выражение неотрицательно и корень тоже.
$$\sqrt[n]{a^n}=|a|\ (n \text{ чётное}),\qquad \sqrt[n]{a^n}=a\ (n \text{ нечётное})$$ Пример: $\sqrt[4]{(-3)^4}=3$, но $\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$.

§9. Степень с рациональным показателем. $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, $a>0$; $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$; свойства обычные:
$a^r\cdot a^s=a^{r+s}$, $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$, $(a^r)^s=a^{rs}$, $(ab)^r=a^rb^r$.

§10. Упрощение с корнями. Переведи корни в степени, сложи показатели, при желании верни корень:
$$\frac{\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt a}{a^{1/6}}=a^{\frac23+\frac12-\frac16}=a^1=a$$

Как проверять себя на СОЧ

1. Подставь в исходное и в полученное выражение простое число ($2$ или $3$) — значения должны совпасть.
2. Проверь ОДЗ: не потерял ли ограничение $x\neq\ldots$.
3. Следи за порядком действий: сначала скобки и умножение/деление, потом $+$ и $-$.
4. Ответ с корнями/степенями оставляй в простейшем виде (без отрицательных показателей).

Мини-тренировка (ответы для самопроверки)

1. Сократить $\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$. → $\dfrac{x-2}{x+2}$
2. Вычислить $27^{2/3}+16^{3/4}$. → $9+8=17$
3. $y=\frac{k}{x}$ проходит через $(-2;5)$. Найти $k$ и четверти. → $k=-10$, II и IV четверти

Попробуй решить сам, а потом сверь: если где-то не сходится — покажи ход, разберём именно этот шаг.