Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x=2\) или \(x=3\).
Как понять решение:
Ищем два числа, которые при умножении дают \(6\), а при сложении дают \(5\). Это \(2\) и \(3\): \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]
Поэтому выражение можно разложить на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Значит, \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка подстановкой: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Оба числа подходят.
Принцип для похожих уравнений: если уравнение имеет вид \[ x^2-Sx+P=0, \] нужно найти два числа \(a\) и \(b\), для которых \[ a+b=S,\qquad a\cdot b=P. \] Тогда \[ x^2-Sx+P=(x-a)(x-b), \] и корни будут \(x=a\) и \(x=b\).
Например, для \(x^2-7x+12=0\) подходят \(3\) и \(4\), потому что \(3+4=7\) и \(3\cdot4=12\). Значит, \(x=3\) или \(x=4\).
