Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ I=\frac{\pi}{4}. \]

Решаем для верхнего предела \(\frac{\pi}{2}\):

\[ I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{1+\operatorname{tg}^{\sqrt2}x}. \]

Сделаем замену
\[ u=\frac{\pi}{2}-x,\qquad dx=-du. \] Тогда \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-u\right)=\operatorname{ctg}u\), и

\[ I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{du}{1+\operatorname{ctg}^{\sqrt2}u} =\int_{0}^{\pi/2}\frac{\operatorname{tg}^{\sqrt2}u}{1+\operatorname{tg}^{\sqrt2}u}\,du. \]

Переобозначим \(u\) обратно через \(x\). Теперь сложим исходное выражение для \(I\) и полученное:

\[ 2I= \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{1}{1+\operatorname{tg}^{\sqrt2}x} + \frac{\operatorname{tg}^{\sqrt2}x}{1+\operatorname{tg}^{\sqrt2}x} \right)dx = \int_{0}^{\pi/2}1\,dx =\frac{\pi}{2}. \]

Значит,

\[ I=\frac{\pi}{4}. \]

Ключевая идея: замена \(x\mapsto \frac{\pi}{2}-x\) превращает тангенс в котангенс, а два интеграла вместе дают единицу. Показатель степени \(\sqrt2\) при этом не важен — подошло бы любое число.

Если верхний предел в тетради всё-таки \(\pi\), а не \(\frac{\pi}{2}\), то запись \(\operatorname{tg}^{\sqrt2}x\) при \(x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\) уже требует отдельного уточнения: тангенс там отрицательный, а нецелая степень в действительных числах не определена.