11 мисалды иште
Кыскача жооп. Берилген тегиздик \(\alpha\), чекит \(A\notin\alpha\) болсун. \(A\) аркылуу \(\alpha\)-га параллель \(\beta\) тегиздигин жүргүзөбүз. \(A\) аркылуу өтүп, \(\alpha\)-га параллель болгон бардык түз сызыктар \(\beta\)-нын ичинде жатат.
Далил.
\(A\) аркылуу өтүп, \(\alpha\)-га параллель болгон каалаган \(l\) түз сызыгын алабыз. Демек \(l\) менен \(\alpha\)-нын жалпы чекити жок.
\(\alpha\)-да турган \(B\) чекитин алып, \(l\) жана \(B\) аркылуу \(\gamma\) тегиздигин өткөрөбүз.
\(\gamma\cap\alpha=a\) болсун. \(l\) менен \(a\) экөө тең \(\gamma\)-да жатат, бирок \(a\subset\alpha\) жана \(l\cap\alpha=\varnothing\). Ошондуктан \[ l\parallel a. \]\(\gamma\cap\beta=b\) болсун. \(A\in l\subset\gamma\) жана \(A\in\beta\), демек \(b\) сызыгы да \(A\) аркылуу өтөт.
\(\alpha\parallel\beta\) болгондуктан \(a\) менен \(b\) кесилишпейт; экөө тең \(\gamma\)-да жаткандыктан, \[ a\parallel b. \]\(\gamma\) тегиздигинде \(A\) чекити аркылуу \(a\)-га параллель бир гана түз сызык өтөт. \(l\) да, \(b\) да \(A\) аркылуу өтүп, \(a\)-га параллель. Демек \[ l=b. \]
\(b\subset\beta\), ошондуктан \(l\subset\beta\). \(l\) каалагандай тандалгандыктан, \(A\) аркылуу өтүп \(\alpha\)-га параллель болгон бардык сызыктар \(\beta\) тегиздигинде жатат. Ал эми \(\beta\parallel\alpha\).
Далилденди.
Негизги идея: кошумча \(\gamma\) тегиздигин жүргүзүп, параллель тегиздиктер менен кесилишкенде пайда болгон сызыктардын параллелдигин жана чекит аркылуу берилген сызыкка параллель бир гана сызык өтөрүн колдондук.
Обсуждение
4 сообщенияЧиймесин чий
Мынадай схеманы чийсе болот (перспективада):
β (A аркылуу өткөн тегиздик)
┌──────────────────────────┐
╱ A●───────────────╱ l = b
╱ ╱ ╱
└──────────╱────────────────┘
╱
γ ╱ (көмөкчү тегиздик)
╱
┌──────╱────────────────────┐
╱ ╱ B● ╱
╱──────╱─────── a ───────────╱
└─────────────────────────────┘
α (берилген тегиздик)
Белгилөөлөр:
- \(\alpha\parallel\beta\);
- \(\gamma\) — \(A\) жана \(l\) аркылуу өткөн көмөкчү тегиздик;
- \(a=\alpha\cap\gamma\), мында \(B\in a\);
- \(b=\beta\cap\gamma\), мында \(A\in b\);
- \(a\parallel b\), ошондой эле \(l\parallel a\), демек \(l=b\);
- \(l\subset\beta\), башкача айтканда \(A\) аркылуу өтүп \(\alpha\)-га параллель болгон түз сызык \(\beta\) тегиздигинде жатат.
Чийүү тартиби: үстүнөн \(\beta\), астынан \(\alpha\) тегиздиктерин параллель кылып чий; аларды кыйып өткөн \(\gamma\) тегиздигин жантык сызыктар менен көрсөт; кесилиш сызыктарын \(a\) жана \(b\) деп белгиле; \(A\in b\), \(B\in a\) чекиттерин кой.
Сен чийип бер
Мен сүрөт файлын тиркей албайм, бирок чийменин даяр SVG-кодун берем — аны chizma.svg деп сактап, браузер менен ачсаң, толук сүрөт болуп чыгат:
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="470" height="340" viewBox="0 0 470 340">
<rect width="470" height="340" fill="#ffffff"/>
<!-- β тегиздиги (үстү) -->
<polygon points="70,160 330,160 390,125 130,125" fill="#e8f1fb" stroke="#3b6fb6" stroke-width="1.6"/>
<!-- α тегиздиги (асты) -->
<polygon points="70,300 330,300 390,265 130,265" fill="#e8f1fb" stroke="#3b6fb6" stroke-width="1.6"/>
<!-- γ көмөкчү тегиздиги -->
<polygon points="108,118 348,118 378,298 138,298"
fill="#ffd9a8" fill-opacity="0.45" stroke="#d9822b"
stroke-width="1.6" stroke-dasharray="6 4"/>
<!-- b = γ∩β -->
<line x1="118" y1="142" x2="352" y2="142" stroke="#c0392b" stroke-width="2.6"/>
<!-- a = γ∩α -->
<line x1="140" y1="282" x2="352" y2="282" stroke="#c0392b" stroke-width="2.6"/>
<circle cx="175" cy="142" r="4" fill="#111"/>
<circle cx="255" cy="282" r="4" fill="#111"/>
<g font-family="Arial, sans-serif" font-size="15">
<text x="182" y="134" font-style="italic">A</text>
<text x="262" y="275" font-style="italic">B</text>
<text x="356" y="139" font-style="italic" fill="#c0392b">b</text>
<text x="356" y="279" font-style="italic" fill="#c0392b">a</text>
<text x="20" y="290" font-size="17" font-style="italic" fill="#3b6fb6">α</text>
<text x="20" y="150" font-size="17" font-style="italic" fill="#3b6fb6">β</text>
<text x="382" y="215" font-size="17" font-style="italic" fill="#d9822b">γ</text>
</g>
</svg>
Дөптөргө өзүң чийип алуу тартиби:
- Эки параллель тегиздик: үстүнө \(\beta\), астына \(\alpha\) (параллелограмм түрүндө).
- Аларды кыйып өткөн \(\gamma\) тегиздигин жантык параллелограмм кылып, пунктир менен чий.
- \(\gamma\cap\beta=b\) жана \(\gamma\cap\alpha=a\) сызыктарын кызыл менен белгиле — алар өз ара параллель.
- \(b\)-нын үстүнө \(A\) чекитин, \(a\)-нын үстүнө \(B\) чекитин кой.
- \(A\) аркылуу өтүп \(\alpha\)-га параллель болгон \(l\) сызыгы дал \(b\)-га туура келет, демек \(l\subset\beta\).
Ушундан \(A\) аркылуу \(\alpha\)-га параллель бардык сызыктар \(\beta\) тегиздигинде жатат деген жыйынтык көрүнөт.
