Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Давай с самого начала и совсем медленно. 🙂

Что значит «решить уравнение»?

Это значит найти такое число \(x\), при подстановке которого получается \(0\). То есть левая часть должна «обнулиться»:

\[ x^2-5x+6=0. \]

Шаг 1. Проверим числа 2 и 3

Подставляем \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0. \]

Получился \(0\) — значит, \(2\) подходит.

Подставляем \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \]

Тоже \(0\) — значит, \(3\) тоже подходит.

Итак, ответ: \(x=2\) или \(x=3\). Это мы уже проверили. Осталось понять, как до этого догадаться самому.

Шаг 2. Главная идея: произведение равно нулю

Есть простое правило:

\[ \text{если } A\cdot B=0,\text{ то } A=0 \text{ или } B=0. \]

Например, если \((x-2)(x-3)=0\), то либо \(x-2=0\), либо \(x-3=0\).

А это даёт \(x=2\) или \(x=3\).

Шаг 3. Как получить скобки

Нужно представить \(x^2-5x+6\) в виде

\[ (x-a)(x-b). \]

Если раскрыть скобки, получится:

\[ x^2-(a+b)x+ab. \]

Сравниваем с нашим уравнением \(x^2-5x+6\):

• сумма \(a+b\) должна быть равна \(5\);
• произведение \(ab\) должно быть равно \(6\).

Теперь просто перебираем пары чисел, которые дают в произведении \(6\):

• \(1\) и \(6\): сумма \(7\) — не подходит;
• \(2\) и \(3\): сумма \(5\) — подходит!

Значит,

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

И тогда:

\[ (x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=3. \]

Коротко

1. Ищем два числа с произведением \(6\) и суммой \(5\).
2. Это \(2\) и \(3\).
3. Записываем \((x-2)(x-3)=0\).
4. Получаем \(x=2\) или \(x=3\).

Если хочешь, могу показать второй способ — через дискриминант. Он работает всегда, даже когда числа подобрать трудно.

Давай без формул и «умных» слов. Совсем по-простому.

Что от тебя хотят? Найти число, которое можно поставить вместо \(x\), чтобы получился \(0\).

Больше пока ничего не нужно. Просто проверяем числа по очереди.

Берём уравнение:

\[ x^2-5x+6 \]

и подставляем разные \(x\):

Ноль получился при \(x=2\) и при \(x=3\). Значит, ответ:

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Вот это и есть «решить уравнение» — найти такие числа.

А скобки \((x-2)(x-3)\) — это просто быстрый способ угадать эти числа, не перебирая всё подряд. Но сам ответ от этого не меняется.

Скажи, что именно непонятно:

1. что значит «решить уравнение»;
2. откуда взялись \(2\) и \(3\);
3. как считать \(x^2-5x+6\) при подстановке?

Напиши номер — разберём только этот кусочек.

Хорошо, разбираем только это: откуда взялись 2 и 3.

1. Чего мы хотим?

Разбить \(x^2-5x+6\) на две скобки:

\[ (x-\ ?\ )(x-\ ?\ ) \]

2. Проверим, что скобки с 2 и 3 вообще дают наше уравнение

Умножаем по очереди, медленно:

\[ (x-2)(x-3) \]

• \(x \cdot x = x^2\)
• \(x \cdot (-3) = -3x\)
• \((-2)\cdot x = -2x\)
• \((-2)\cdot(-3) = +6\)

Складываем:

\[ x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 \]

Совпало с уравнением. Значит, скобки выбраны верно.

3. Теперь наоборот: как эти числа найти

Смотри на два места в результате:

• Свободное число 6 появилось из умножения: \((-2)\cdot(-3)=6\).
• Число 5 при \(x\) появилось из сложения: \(3+2=5\).

Вывод: нам нужны два числа, которые

\[ \text{при умножении дают } 6,\qquad \text{при сложении дают } 5. \]

4. Просто перебираем пары для 6

Других положительных пар для 6 нет. Значит, это \(2\) и \(3\).

5. Записываем ответ

\[ (x-2)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=2 \text{ или } x=3. \]

Самое главное: 6 даёт умножение, 5 даёт сложение. Отсюда и берутся числа 2 и 3 — они не берутся из воздуха.

Хочешь, дам одно похожее уравнение, и ты сам найдёшь числа по этому правилу?

Отлично! Вот похожее уравнение:

\[ x^2-7x+12=0 \]

Решай по тому же правилу. Заполни пропуски:

1. Нужны два числа, которые при умножении дают \(12\), а при сложении дают \(7\).
2. Перебери пары для \(12\):

3. Какая пара подошла? Запиши скобки:

\[ (x-\ ?\ )(x-\ ?\ )=0 \]

4. Отсюда найди \(x\).

Напиши, что у тебя получилось, — я проверю. Если застрянешь на каком-то шаге, скажи номер шага.

Верно! ✅ Пара \(3\) и \(4\) подходит:

\[ 3\cdot 4=12,\qquad 3+4=7. \]

Теперь записываем скобки:

\[ (x-3)(x-4)=0. \]

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

\[ x-3=0 \quad \text{или} \quad x-4=0, \]

значит,

\[ x=3 \quad \text{или} \quad x=4. \]

Проверка:

\[ 3^2-7\cdot 3+12=9-21+12=0, \]

\[ 4^2-7\cdot 4+12=16-28+12=0. \]

Оба корня подходят. Ответ: \(x_1=3,\; x_2=4\).

Ты сам нашёл числа — это главное. Хочешь ещё одно уравнение для закрепления?

Уточни, пожалуйста: ты про ветви параболы у графика \(y=x^2-7x+12\)? В уравнении \((x-3)(x-4)=0\) никаких «веток» мы не обсуждали — там были только скобки и корни.

А, поняла — тебя смутила проверка. Давай разберём её медленно.

Зачем проверять?

Мы нашли \(x=3\) и \(x=4\) из скобок. Проверка — это способ убедиться, что мы нигде не ошиблись. Берём найденное число и подставляем вместо \(x\) в исходное уравнение. Должен получиться \(0\).

Исходное уравнение:

\[ x^2-7x+12=0 \]

Проверяем \(x=3\)

Подставляем \(3\) вместо каждого \(x\):

\[ 3^2-7\cdot 3+12 \]

Считаем по частям:

• \(3^2=3\cdot 3=9\)
• \(7\cdot 3=21\)
• остаётся \(+12\)

Собираем:

\[ 9-21+12 \]

Сначала \(9-21=-12\), потом \(-12+12=0\). ✅

Получился \(0\) — значит, \(3\) действительно корень.

Проверяем \(x=4\)

\[ 4^2-7\cdot 4+12 \]

• \(4^2=16\)
• \(7\cdot 4=28\)

\[ 16-28+12 \]

\(16-28=-12\), затем \(-12+12=0\). ✅

Значит, \(4\) тоже корень.

Можно проверить и через скобки

У нас есть \((x-3)(x-4)=0\). Подставим \(x=3\):

\[ (3-3)(3-4)=0\cdot(-1)=0. \]

Подставим \(x=4\):

\[ (4-3)(4-4)=1\cdot 0=0. \]

Тоже ноль — потому что один множитель обнулился.

Итог: проверка — это просто подстановка найденного числа в уравнение. Если получился \(0\), корень найден верно.

Хочешь, проверим вместе ещё один корень на другом уравнении — ты подставишь, а я подскажу, если что-то не сойдётся?