Сделай только 1.203
Ответы (1.203):
а) \(\dfrac{3}{2a+1}\), где \(a\ne 3,\ a\ne -\frac12\);
б) \(-\dfrac{b+3}{2(2b-1)}\), где \(b\ne 3,\ b\ne \pm\frac12,\ b\ne -3\);
в) \(\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x+4)(x+1)}\), где \(x\ne -4,-3,-1,1\);
г) \(m(4m-1)=4m^2-m\), где \(m\ne 0,\ m\ne 1\).
Как это делается
Главный приём: разложить числители и знаменатели на множители и сократить общие множители. При делении дробь заменяем умножением на обратную.
а) \[ 2a^2-5a-3=(a-3)(2a+1). \] Тогда \[ \frac{3}{(a-3)(2a+1)}\cdot (a-3) =\frac{3}{2a+1}. \]
б) \[ 4b^2-1=(2b-1)(2b+1), \] \[ 6-2b=-2(b-3), \] \[ 2b^2+7b+3=(2b+1)(b+3). \] Поэтому \[ \frac{b-3}{(2b-1)(2b+1)} : \frac{6-2b}{(2b+1)(b+3)} = \frac{b-3}{(2b-1)(2b+1)} \cdot \frac{(2b+1)(b+3)}{-2(b-3)}. \] Сокращаем \(b-3\) и \(2b+1\): \[ -\frac{b+3}{2(2b-1)}. \]
в) Раскладываем: \[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2), \] \[ x^2+7x+12=(x+3)(x+4), \] \[ x^2-9=(x-3)(x+3), \] \[ x^2-1=(x-1)(x+1). \] Тогда \[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x+4)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x+4)(x+1)}. \]
г) \[ 4m^2-5m+1=(m-1)(4m-1). \] Значит, \[ (4m^2-5m+1):\frac{m-1}{m} = (m-1)(4m-1)\cdot \frac{m}{m-1} =m(4m-1). \]
Проверка: например, в пункте а) при \(a=0\) исходное выражение даёт \(3\), и \(\frac{3}{2\cdot0+1}=3\). Всё верно.
Обсуждение
2 сообщенияа что не надо квадратные уравнения решать через виета?
Не обязательно. В номере 1.203 нужно не «решить квадратные уравнения», а разложить квадратные трёхчлены на множители, чтобы сократить дроби. Виет — один из удобных способов это сделать, но не единственный.
Если \(x_1,x_2\) — корни \(x^2+px+q\), то по Виету: \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q, \] и \[ x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2). \]
Например:
\(x^2-3x+2\): сумма корней \(3\), произведение \(2\), значит корни \(1\) и \(2\): \[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]
\(2a^2-5a-3\): корни \(3\) и \(-\frac12\), поэтому \[ 2a^2-5a-3=2(a-3)\left(a+\frac12\right)=(a-3)(2a+1). \]
\(4m^2-5m+1\): корни \(1\) и \(\frac14\), поэтому \[ 4m^2-5m+1=4(m-1)\left(m-\frac14\right)=(m-1)(4m-1). \]
То есть через Виета тоже можно, просто в предыдущем решении я раскладывал эти трёхчлены другим способом. Если учитель требует именно Виета, оформляй через сумму и произведение корней — ответ будет тем же. Для неудобных корней обычно проще дискриминант.
