Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$$
Как решать — три шага
1. Найти коэффициенты. Уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $$a=1,\quad b=-5,\quad c=6$$
2. Дискриминант. $$D = b^2-4ac = (-5)^2-4\cdot 1\cdot 6 = 25-24 = 1$$ $D>0$ — значит, корней два, и они считаются по формуле: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$ $$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
3. Проверка. Подставляем корни в исходное уравнение:
- $3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0$ ✓
- $2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0$ ✓
Принцип, который стоит запомнить
Есть второй, более быстрый путь — теорема Виета. Для приведённого уравнения ($a=1$) корни удовлетворяют: $$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$ То есть надо подобрать два числа, дающие в сумме $5$, а в произведении $6$. Это $2$ и $3$ — ответ получается без дискриминанта, буквально в уме.
Третий путь — разложение на множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, произведение равно нулю, когда хотя бы одна скобка нулевая, отсюда $x=2$ или $x=3$.
Все три способа дают одно и то же, поэтому схема для похожего задания такая: посчитай $D$ (или сразу попробуй Виета, если $a=1$ и числа небольшие), найди корни, подставь обратно для проверки.
Обсуждение
2 сообщенияА если дискриминант сделай только 3 51отрицательный, что писать в ответе?
Если дискриминант получился отрицательным, в ответе пишешь:
«Корней нет» (точнее — «нет действительных корней»).
Почему так: в формуле $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$ при $D<0$ извлекать квадратный корень нельзя — среди действительных чисел такого корня нет. Графически парабола $y=ax^2+bx+c$ в этом случае не пересекает ось $x$.
Например: $$x^2+x+1=0$$ $$D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0$$ Ответ: корней нет.
Полезно помнить:
- $D>0$ — два корня;
- $D=0$ — один корень $x=-\dfrac{b}{2a}$;
- $D<0$ — корней нет.
Если ты имел в виду конкретное уравнение — напиши его, проверю вычисления: отрицательный дискриминант часто получается из-за потерянного минуса.
